3. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 4 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, действуя в отдельности, если она наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем вторая?

Пусть $$x$$ — время, за которое первая труба наполняет бассейн, а $$y$$ — время, за которое вторая труба наполняет бассейн.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 6 часов дольше, чем вторая, поэтому $$x = y + 6$$.

За 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ часть бассейна, а вторая — $$\frac{1}{y}$$ часть бассейна.

Вместе они наполняют бассейн за 4 часа, поэтому за 1 час они наполняют $$\frac{1}{4}$$ часть бассейна. Значит, $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$$.

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} x = y + 6, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}. \end{cases}$$

Подставим первое уравнение во второе: $$\frac{1}{y + 6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$$.

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{y + y + 6}{y(y + 6)} = \frac{1}{4}$$.

$$4(2y + 6) = y(y + 6)$$

$$8y + 24 = y^2 + 6y$$

$$y^2 - 2y - 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$.

Корни: $$y_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$$, $$y_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4$$.

Так как время не может быть отрицательным, $$y = 6$$.

Тогда $$x = y + 6 = 6 + 6 = 12$$.

Ответ: Первая труба может наполнить бассейн за 12 часов.