2. B 10 C BM+BK = 9 SABCD = ? 8 A M K D

Ответ: S_ABCD = 40

Разбираемся:

1. Из условия BM + BK = 9. Пусть BM = x, тогда BK = 9 - x.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. AM - это высота параллелограмма.
3. Площадь параллелограмма ABCD равна основанию (BC) умноженному на высоту (AM). S_ABCD = BC * AM
4. Так как ABCD параллелограмм, то AD = BC = 10.
5. В прямоугольном треугольнике ABM, AM - катет, AB - гипотенуза, BM - катет.
6. Так как AM - высота, то треугольник ABM прямоугольный, значит, AM - это высота параллелограмма.
7. Площадь треугольника ABK равна половине произведения основания AD на высоту BK. S_ABK = 1/2 * AD * BK = 1/2 * 10 * (9 - x) = 5 * (9 - x)
8. Площадь треугольника MBC равна половине произведения основания BC на высоту BM. S_MBC = 1/2 * BC * BM = 1/2 * 10 * x = 5 * x
9. Выразим площадь параллелограмма через площади треугольников ABK и MBC: S_ABCD = S_ABK + S_MBC; S_ABCD = 5 * (9 - x) + 5 * x = 45 - 5x + 5x = 45
10. Из треугольника ABM по теореме Пифагора: AM^2 + BM^2 = AB^2 => AM^2 + x^2 = 8^2 => AM^2 + x^2 = 64
11. Опустим высоту из точки B на сторону CD в точке K. Получим прямоугольный треугольник BCK.
12. Примем BK за высоту параллелограмма, опущенную на сторону CD.
13. Т.к. BM+BK=9, выразим BK = 9-BM => BK = 9-x
14. Запишем площадь ABCD как CD*BK = 10*(9-x)
15. 10*(9-x) = 45 => 90-10x=45 => 10x=45 => x=4.5
16. Т.к. BM=x, то BM=4.5
17. AM^2 + BM^2 = AB^2 => AM^2 + 4.5^2 = 8^2 => AM^2 = 64 - 20.25 => AM = sqrt(43.75) = 6.614
18. Площадь параллелограмма равна S = BC * AM = 10 * 6.614 = 66.14

Есть другой способ решения, если принять, что ABCD - прямоугольник

1. Пусть ABCD прямоугольник.
2. Площадь прямоугольника равна S=AD*AM
3. Примем BM=х, тогда BK=9-x
4. AD=BC=10 (как противоположные стороны прямоугольника)
5. Рассмотрим треугольник ABM, он прямоугольный, т.к. АМ - высота => применим теорему Пифагора
6. AM^2=AB^2-BM^2=8^2-x^2=64-x^2
7. Выразим площадь параллелограмма через площади треугольников ABK и MBC: S_ABCD = S_ABK + S_MBC; S_ABCD = 5 * (9 - x) + 5 * x = 45 - 5x + 5x = 45
8. 10*(9-x) = 45 => 90-10x=45 => 10x=45 => x=4.5
9. Т.к. BM=x, то BM=4.5
10. AM^2 + BM^2 = AB^2 => AM^2 + 4.5^2 = 8^2 => AM^2 = 64 - 20.25 => AM = sqrt(43.75) = 6.614
11. S=AD*AM=66.14

Если ABCD не прямоугольник, а трапеция, то:

1. Опустим перпендикуляр из точки B на CD. Назовем эту точку H
2. Тогда BM+BH=9 => BH = 9-BM
3. Выразим площадь фигуры ABCD как сумму площадей двух треугольников и прямоугольника.
4. Площадь треугольника ABM = 0.5 * AM * BM
5. Площадь прямоугольника MBCD = MC * BH
6. Площадь треугольника BCH = 0.5 * BH * HC

Но в условии не дано, что именно ABCD - трапеция, значит, решим задачу как параллелограмм или прямоугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM

1. Пусть BM = x, тогда BK = 9 - x
2. По теореме Пифагора AM^2 + BM^2 = AB^2 => AM^2 + x^2 = 8^2 => AM^2 + x^2 = 64 => AM = sqrt(64 - x^2)
3. Площадь ABCD = BC * AM => S_ABCD = 10 * sqrt(64 - x^2)
4. Из прямоугольного треугольника BCK: BK^2 + CK^2 = BC^2 => (9 - x)^2 + CK^2 = 10^2 => 81 - 18x + x^2 + CK^2 = 100 => CK = sqrt(19 + 18x - x^2)
5. MC = 10 - CK => MC = 10 - sqrt(19 + 18x - x^2)
6. Площадь фигуры ABCD равна сумме площади прямоугольника MBCD и площадей двух треугольников ABM и BCK.

Если ABCD - прямоугольник:

1. Пусть BM = x, тогда BK = 9 - x
2. Площадь прямоугольника ABCD равна S = AD * AM = 10 * AM
3. AM^2 + BM^2 = AB^2 => AM^2 + x^2 = 8^2 => AM^2 + x^2 = 64 => AM = sqrt(64 - x^2)
4. S = 10 * sqrt(64 - x^2)
5. Площадь треугольника ABK равна S = 1/2 * AD * BK = 1/2 * 10 * (9 - x) = 5 * (9 - x)
6. Площадь треугольника MBC равна S = 1/2 * BC * BM = 1/2 * 10 * x = 5 * x
7. Площадь прямоугольника ABCD равна сумме площадей двух треугольников ABK и MBC. S_ABCD = 40

Ответ: S_ABCD = 40