Белоснежка попросила семерых гномов построиться по росту в колонну: первый гном — самый высокий, последний — самый низкий. Шестеро гномов так и встали, но потом пришёл седьмой и встал позади одного из более низких гномов, тем самым нарушив требуемый порядок. Сколькими способами могли построиться гномы, если известно, что все они разного роста? Ответ обоснуйте.

Шестеро гномов уже стоят в единственном порядке: от самого высокого к самому низкому. Рассмотрим рост седьмого гнома. Если перед ним в этом порядке стоят \(k\) гномов выше него, то ниже него стоят \(6-k\) гномов. Встать за одним из более низких гномов можно \(6-k\) способами.

Переберём возможные значения \(k\): число способов равно \(6+5+4+3+2+1+0=21\). Каждый выбор более низкого гнома задаёт одно место для седьмого в колонне.

Ответ: 21 способом.