Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3, 4, …, 9 даёт остатки 1, 2, …, 7. Ответ обоснуйте.

Требуемые остатки на 2 меньше делителей: например, при делении на 3 остаток 1, при делении на 4 — остаток 2. Поэтому число на 2 больше делится на каждое из чисел от 3 до 9.

Наименьшее общее кратное чисел от 3 до 9:

\(\operatorname{НОК}(3,4,5,6,7,8,9)=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520\).

Следовательно, искомое число на 2 меньше 2520:

\(2520-2=2518\).

Ответ: 2518.