Билет №3

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказать, что диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:

Пусть ABCD - прямоугольник, где AB = CD и BC = AD. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них сторона BC - общая, AB = CD (как противоположные стороны прямоугольника), угол ABC = углу DCB = 90° (по определению прямоугольника). Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AC = BD. Таким образом, диагонали прямоугольника равны.

2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, угол A равен 60°, AD = 24 см, BC = 12 см. Найти периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, AD = 24 см, BC = 12 см, угол A = 60°, BD перпендикулярна AB.

1. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2 = (24 - 12) / 2 = 6 см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол A = 60°, значит, угол ABH = 90° - 60° = 30°.

3. В прямоугольном треугольнике ABH катет AH лежит против угла 30°, следовательно, AB = 2 * AH = 2 * 6 = 12 см.

4. Так как трапеция равнобедренная, то CD = AB = 12 см.

5. Периметр трапеции P = AB + BC + CD + AD = 12 + 12 + 12 + 24 = 60 см.

Ответ: Периметр трапеции равен 60 см.