Билет № 8 1. Сформулируйте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 3. Сформулируйте признаки параллельных прямых. Докажите, что если накрест лежащие углы равны то прямые параллельны. 4. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание - 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу.

Билет № 8

1. • Медиана треугольника: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
   • Биссектриса треугольника: Отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противоположной стороне и делящий этот угол пополам.
   • Высота треугольника: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
2. • Признаки параллельности прямых:
     • Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
     • Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
     • Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
   • Доказательство:

     Пусть прямые a и b пересечены секущей c, и накрест лежащие углы равны (например, ∠1 = ∠2). Докажем, что a || b.

     Предположим, что a не параллельна b. Тогда они пересекаются в некоторой точке X. Получается треугольник, в котором сумма углов ∠1, ∠2 и ∠3 (угол при вершине X) должна быть равна 180°.

     Так как ∠1 = ∠2, то ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2∠1 + ∠3 = 180°. Но это противоречит тому, что сумма углов в треугольнике равна 180°, так как ∠3 должен быть больше 0. Следовательно, наше предположение неверно, и a || b.

3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника.

   Пусть P — периметр, a — основание, b — боковая сторона.

   P = a + 2b

   19 = 7 + 2b

   2b = 19 - 7

   2b = 12

   b = 6

   Боковая сторона треугольника равна 6 см.

4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу.

   Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 60°, тогда ∠B = 30°.

   Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

   Пусть BC = x, тогда AB = 2x.

   По условию AB + BC = 42.

   2x + x = 42

   3x = 42

   x = 14

   AB = 2x = 28

   Гипотенуза равна 28 см.