Билет №10. 1. Аксиомы геометрии. Аксиома параллельных прямых и свойства из нее вытекающие. 2. Свойства прямоугольных треугольников. 3. Задача на тему «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Задача 3 (Билет №10):

Дано:

• Треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC).
• M, N, K - середины сторон AB, BC и AC соответственно.

Доказать: Треугольник MNK - равнобедренный.

Доказательство:

1. MN - средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и BC.

   MK - средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и AC.

   NK - средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон BC и AC.

2. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

   MN || AC и MN = 1/2 * AC.

   NK || AB и NK = 1/2 * AB.

   MK || BC и MK = 1/2 * BC.

3. Так как AB = BC (по условию), то 1/2 * AB = 1/2 * BC.

   Следовательно, NK = MK.

4. Треугольник MNK, у которого NK = MK, является равнобедренным.

Ч.Т.Д.