Билет №8

1. Периметр прямоугольника: Сумма длин всех сторон прямоугольника. Формула периметра: $$P = 2(a + b)$$, где a и b - длина и ширина прямоугольника.

   Площадь прямоугольника: Произведение длины и ширины прямоугольника. Формула площади: $$S = a * b$$, где a и b - длина и ширина прямоугольника.

2. Третий признак параллельности двух прямых (по сумме односторонних углов): Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

3. Задача про треугольник ABC:

   Дано: В треугольнике ABC угол A = 38°, угол B = 110°, угол C = 32°. На стороне AC отмечены точки D и E так, что точка D лежит на отрезке AE, BD = DA, BE = EC. Найти угол DBE.

   Решение:

   1. Рассмотрим треугольник ABD. Так как BD = DA, то треугольник ABD - равнобедренный, и углы при основании AD равны. Следовательно, угол ABD = углу A = 38°.

   2. Рассмотрим треугольник BEC. Так как BE = EC, то треугольник BEC - равнобедренный, и углы при основании BC равны. Следовательно, угол EBC = углу C = 32°.

   3. Теперь найдем угол DBE. Угол DBE = угол ABC - угол ABD - угол EBC = 110° - 38° - 32° = 40°.

   Ответ: 40°

4. Задача про окружность:

   Дано: Расстояние от центра окружности O до хорды AB равно 13 см. Угол AOB равен 90°.

   Нужно найти: длину хорды AB.

   Решение:

   1. Пусть M - середина хорды AB, тогда OM перпендикулярно AB и OM = 13 см.

   2. Треугольник AOB - равнобедренный, так как OA = OB (радиусы окружности). Поскольку угол AOB = 90°, треугольник AOB - прямоугольный и равнобедренный.

   3. OM является медианой, высотой и биссектрисой в треугольнике AOB. Тогда угол AOM = углу BOM = 45°.

   4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. В нем OM = 13 см, угол AOM = 45°. Тогда AM = OM = 13 см (т.к. это равнобедренный прямоугольный треугольник).

   5. Хорда AB = 2 * AM = 2 * 13 = 26 см.

   Ответ: 26 см