Билет 10 1. Определение остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника. Стороны прямоугольного треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°. 3. Между сторонами угла АОВ, равного 110°, проведен луч ОС так, что угол АОС на 30° меньше угла ВОС. Найдите углы АОС и СОВ. 4. В прямоугольным треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, один из которых на 20° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Решение:

1. Остроугольный треугольник - это треугольник, все углы которого острые (меньше 90°). Прямоугольный треугольник - это треугольник, один из углов которого прямой (равен 90°). Тупоугольный треугольник - это треугольник, один из углов которого тупой (больше 90°). Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) и катеты (две другие стороны).
2. Доказательство:
   1. Соответственные углы равны: При пересечении двух параллельных прямых секущей, соответственные углы, образованные этими прямыми, равны. Это можно доказать, используя аксиому параллельных прямых и свойства углов, образованных при пересечении прямых.
   2. Сумма односторонних углов равна 180°: При пересечении двух параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов, образованных этими прямыми, равна 180°. Это следует из того, что соответственные углы равны, а сумма смежных углов равна 180°.
3. Дано: ∠AOB = 110°, ∠AOC = ∠BOC - 30°. Найти: ∠AOC и ∠COB. Решение: Пусть ∠AOC = x, тогда ∠BOC = x + 30°. Сумма углов ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 110°. Составим уравнение: x + x + 30° = 110°. 2x + 30° = 110°. 2x = 110° - 30°. 2x = 80°. x = 40°. ∠AOC = 40°, ∠BOC = 40° + 30° = 70°. Краткая запись: ∠AOB = 110° ∠AOC = ∠BOC - 30° ∠AOC - ? ∠COB - ? Решение: 1) Пусть ∠AOC = x, тогда ∠BOC = x + 30° 2) ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 110° x + x + 30° = 110° 2x + 30° = 110° 2x = 110° - 30° 2x = 80° x = 40° 3) ∠AOC = 40°, ∠BOC = 40° + 30° = 70° Ответ: ∠AOC = 40°, ∠COB = 70°.
4. В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, один из которых на 20° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника. Решение: Пусть меньший острый угол равен x. Тогда больший острый угол равен 90° - x. Биссектриса делит наименьший угол пополам, поэтому угол между биссектрисой и меньшим катетом равен x/2. По условию, один из углов, образованных биссектрисой с меньшим катетом, на 20° больше другого. Значит: x/2 + 20° = 90° - x. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: x + 40° = 180° - 2x. Перенесем -2x в левую часть и 40° в правую часть: 3x = 140°. x = 140°/3. x ≈ 46.67°. 90° - x ≈ 90° - 46.67° ≈ 43.33° Значит углы не острые. Допустим, что x/2 - 20 = 90 - x Решение: 1) x/2 - 20 = 90 - x x/2 + x = 90 + 20 3/2x = 110 x = 110 * 2/3 = 220/3 = 73.33 90 - x = 90 - 73.33 = 16.67 Краткая запись: Дано: Прямоугольный треугольник. Биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, один из которых на 20° больше другого. Найти: Острые углы треугольника. Решение: 1) Пусть меньший угол = х, больший = 90 - х. 2) х/2 - 20 = 90 - х 3) x/2 + x = 90 + 20 4) 3/2x = 110 5) x = 110 * 2/3 = 220/3 = 73.33 6) 90 - x = 90 - 73.33 = 16.67 Ответ: 73.33°, 16.67°

Ответ: смотри решение