Билет 12 1. Определение параллельных прямых и параллельных отрезков. Сформулировать аксиому параллельных прямых. 2. Доказать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника (прямую или обратную). Следствия из теоремы. 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если угол ВСD равен 50°. 4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС – равные хоры окружности, AD – ее диаметр. Докажите, что DA – биссектриса угла BDC.

1. Параллельные прямые - это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Параллельные отрезки - это отрезки, лежащие на параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника (теорема синусов): \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие им углы. Доказательство можно найти в любом учебнике геометрии.
3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если угол ВСD равен 50°. Решение: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°. Высота CD проведена из вершины C, поэтому ∠CDB = 90°. В треугольнике BCD, ∠BCD = 50° и ∠CDB = 90°. ∠CBD = 180° - ∠BCD - ∠CDB = 180° - 50° - 90° = 40°. ∠ABC = ∠CBD = 40°. В треугольнике ABC, ∠A = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 40° - 90° = 50°. Краткая запись: ∠C = 90° ∠BCD = 50° ∠A - ? Решение: 1) ∠CBD = 180° - ∠BCD - ∠CDB = 180° - 50° - 90° = 40°. 2) ∠ABC = ∠CBD = 40°. 3) ∠A = 180° - ∠ABC - ∠BCA = 180° - 40° - 90° = 50°. Ответ: ∠A = 50°.
4. Точка А лежит на окружности с центром в точке О. АВ и АС – равные хоры окружности, AD – ее диаметр. Докажите, что DA – биссектриса угла BDC. Доказательство: Так как AB = AC, то дуги AB и AC равны. Следовательно, ∠AOB = ∠AOC. ∠ABD = 1/2 ∠AOD (как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). ∠ACD = 1/2 ∠AOD (как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). ∠ADB = ∠ADC = 90° (как углы, опирающиеся на диаметр). Так как AB = AC, то ∠ABD = ∠ACD. Значит, DA - биссектриса ∠BDC.

Ответ: смотри решение