Билет №3. 1. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников (доказать первый признак). 2. Медиана, биссектриса и высота треугольника

Билет №3

1. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников (доказать первый признак).
2. Медиана, биссектриса и высота треугольника

1. Определение равных треугольников:

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Признаки равенства треугольников:

1. Первый признак: По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Второй признак: По стороне и двум прилежащим углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Третий признак: По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство первого признака:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Нужно доказать, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Т.к. ∠A = ∠A₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AB и AC наложатся соответственно на лучи A₁B₁ и A₁C₁.

Т.к. AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, то сторона AB совместится со стороной A₁B₁, а сторона AC совместится со стороной A₁C₁. В частности, совместятся точки B и B₁, C и C₁.

Следовательно, совместится сторона BC и B₁C₁.

Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся и, значит, они равны.

2. Медиана треугольника:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника:

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Высота треугольника:

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Ответ: см. решение