Билет №13. 1. Вертикальные углы (определение и свойства). 2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

Билет №13

1. Вертикальные углы (определение и свойства).
2. Доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
3. Задача на тему «Признаки равенства треугольников». Отрезки АВ и СЕ пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и ВЕ отмечены точки К и М так, что АК равно ВМ. Доказать, что ОК равно ОМ.

Решение задачи №3:

Дано: AO = OB, CO = OE, AK = BM

Доказать: OK = OM

Рассмотрим треугольники AOC и BOE.

У них:

• AO = OB (по условию)
• CO = OE (по условию)
• ∠AOC = ∠BOE (как вертикальные)

Следовательно, треугольники AOC и BOE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AC = BE и ∠A = ∠B.

Так как AC = BE и AK = BM, то KC = AC - AK = BE - BM = ME.

Рассмотрим треугольники KOC и MOE.

У них:

• KC = ME (доказано выше)
• ∠ACO = ∠BEO (из равенства треугольников AOC и BOE)
• CO = OE (по условию)

Следовательно, треугольники KOC и MOE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что OK = OM.

Ответ: OK = OM.