Билет №1. Задача 4: Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Пусть *a* и *b* – стороны прямоугольника. Из условия задачи нам известно, что периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Тогда мы можем записать следующие уравнения: 1. Периметр прямоугольника: $$2(a + b) = 56$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$a + b = 28$$ 2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и диагональю: $$a^2 + b^2 = 20^2$$ $$a^2 + b^2 = 400$$ Выразим *b* из первого уравнения: $$b = 28 - a$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$a^2 + (28 - a)^2 = 400$$ $$a^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot a + a^2) = 400$$ $$a^2 + 784 - 56a + a^2 = 400$$ $$2a^2 - 56a + 784 - 400 = 0$$ $$2a^2 - 56a + 384 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$a^2 - 28a + 192 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно *a*. Для этого найдем дискриминант *D*: $$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16$$ Теперь найдем корни уравнения: $$a_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$a_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ Итак, мы получили два возможных значения для *a*: 16 и 12. Если *a = 16*, то: $$b = 28 - a = 28 - 16 = 12$$ Если *a = 12*, то: $$b = 28 - a = 28 - 12 = 16$$ В обоих случаях стороны прямоугольника равны 12 и 16. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: $$S = a \cdot b = 12 \cdot 16 = 192$$ Ответ: Площадь прямоугольника равна 192.