Билет №1. Задача 3: Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1см, а радиус окружности равен 5см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружности и теоремой Пифагора. 1. Так как радиус *OB* перпендикулярен хорде *AC*, то *D* является серединой *AC*. Значит, *AD = DC*. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник *ADO*. В нём *AO* – радиус окружности, *OD = OB - BD*, а *AD* – половина искомой хорды *AC*. Вычислим *OD*: $$OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 \text{ см}$$ Теперь, по теореме Пифагора для треугольника *ADO*: $$AO^2 = AD^2 + OD^2$$ $$5^2 = AD^2 + 4^2$$ $$25 = AD^2 + 16$$ $$AD^2 = 25 - 16 = 9$$ $$AD = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$ Так как *AC = 2 \cdot AD*, то: $$AC = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$ Ответ: Длина хорды AC равна 6 см.