Билет №1. 1) Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Доказать теорему о средней линии треугольника. 3) Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

1) Многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной — вершины многоугольника, её звенья — стороны. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю. Периметр — сумма длин всех сторон.

Выпуклый n-угольник можно разбить из одной вершины на n − 2 треугольника. Поэтому сумма его внутренних углов равна \((n-2)\cdot180^\circ\).

2) Пусть в треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC. Тогда AM = MB и AN = NC, откуда AM/AB = AN/AC = 1/2. Угол A общий, значит, треугольники AMN и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, MN/BC = 1/2 и ∠AMN = ∠ABC. Равенство соответствующих углов означает, что MN параллельна BC. Итак, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

3) Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Так как OB = 5 см и BD = 1 см, то OD = OB − BD = 4 см. В прямоугольном треугольнике ODA гипотенуза OA = 5 см, поэтому \(AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{25-16}=3\) см. Значит, \(AC=2AD=6\) см.

4) Обозначим стороны прямоугольника за a и b. Из периметра \(2(a+b)=56\), поэтому \(a+b=28\). По теореме Пифагора \(a^2+b^2=27^2=729\). Тогда \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), откуда \(784=729+2ab\), следовательно, \(ab=27.5\).

Ответ: 27,5 квадратных единицы.