Билет №2. 1) Определение и свойства параллелограмма. 2) Доказать свойство медиан треугольника. 3) Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? 4) Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

1) Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; диагонали точкой пересечения делятся пополам. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

2) Пусть медианы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке G. Возьмём координаты A=(0,0), B=(u₁,u₂), C=(v₁,v₂). Тогда M=( (u₁+v₁)/2, (u₂+v₂)/2 ), N=(v₁/2,v₂/2). Точка пересечения медиан удовлетворяет уравнениям AG = t·AM и BG = s·(N−B); решение даёт \(t=2/3\), то есть \(AG:GM=2:1\). Аналогично медиана из C проходит через G и делится им в отношении 2:1. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

3) При неизменных настройках высота освещаемого участка прямо пропорциональна расстоянию от проектора. Пусть расстояние до экрана B равно x. Тогда \(80/250=160/x\), откуда \(x=250\cdot160/80=500\) см.

Ответ: 500 см.

4) Луч OD проходит через точку D дуги, лежащей внутри угла, поэтому центральный угол AOD равен 100°. Радиус OA перпендикулярен касательной CA, значит, угол OAC равен 90°. Так как OC и OD лежат на одном луче, угол AOC равен 100°. Из суммы углов треугольника AOC получаем \(\angle ACO=180^\circ-90^\circ-100^\circ=-10^\circ\), что невозможно для треугольника. Следовательно, при указанных данных изображённая конфигурация несовместима: луч CO не может проходить через D, если дуга AD внутри угла равна 100°. Если же подразумевается меньшая дуга AD, а луч CO проходит через противоположную точку окружности относительно D, то центральный угол AOC равен 80° и \(\angle ACO=10^\circ\). Уточните расположение точки D относительно луча CO, чтобы однозначно определить ответ.