Билет №3. 1) Определение и свойства прямоугольника. 2) Доказать теорему Пифагора. 3) Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности. 4) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP = 40 см, NK = 24 см.

1) Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Его противоположные стороны параллельны и равны, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

2) Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C; обозначим катеты a=BC, b=CA, гипотенузу c=AB. Опустим высоту CH на AB. Из подобия треугольников ABC и ACH следует \(b^2=c\cdot AH\); из подобия ABC и BCH следует \(a^2=c\cdot HB\). Складывая равенства, получаем \(a^2+b^2=c(AH+HB)=c^2\), поскольку AH+HB=AB=c. Значит, \(a^2+b^2=c^2\).

3) Пусть радиус окружности равен R. Для хорды длины R и центрального угла φ, опирающегося на эту хорду, выполняется \(R=2R\sin(\varphi/2)\). Значит, \(\sin(\varphi/2)=1/2\), поэтому меньший центральный угол равен 60°. Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, вдвое меньше центрального: \(\alpha=30^\circ\).

Ответ: 30°.

4) Обозначим основания трапеции через a=40 см и b=24 см. Диагонали делятся точкой пересечения в отношении оснований: это следует из подобия треугольников, образованных диагоналями и основаниями. Параллельный основаниям отрезок через точку пересечения диагоналей делится этой точкой пополам, а его длина равна гармоническому среднему оснований: \(AB=\frac{2ab}{a+b}\). Подставим данные: \(AB=\frac{2\cdot40\cdot24}{40+24}=30\) см.

Ответ: 30 см.