Билет № 1. 1. Точки. Прямые. Отрезки. 2. Смежные углы (определение). Теорема о сумме смежных углов. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 4. Биссектрисы углов N и М треугольника MNP пересекаются в точке А. Найдите ∠NAM, если ∠N = 84°, а ∠M = 42°.

Решение Билета № 1:

3. Расстояние от точки А до прямой ВС:

Для определения расстояния от точки А до прямой ВС, рассмотрим систему координат. Пусть точка В находится в начале координат (0,0). Тогда точка С находится на оси X, например, в (3,0) (так как 3 клетки по горизонтали). Точка А находится в (1,2) (1 клетка вправо от В, 2 клетки вверх).

Прямая ВС проходит по оси X. Расстояние от точки А(1,2) до оси X (прямой ВС) равно абсолютной величине y-координаты точки А, то есть 2.

Учитывая, что размер клетки 1 см х 1 см, расстояние от точки А до прямой ВС составляет 2 см.

Ответ: 2 см

4. Угол NAM:

Биссектриса угла N делит угол N пополам. Биссектриса угла M делит угол M пополам.

В треугольнике MNP:

• \[ \angle N = 84^{\circ} \]
• \[ \angle M = 42^{\circ} \]
• \[ \angle P = 180^{\circ} - \angle N - \angle M = 180^{\circ} - 84^{\circ} - 42^{\circ} = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \]

В треугольнике AMN:

Биссектриса угла N делит \[ \angle N \] на два угла по \[ 84^{\circ} / 2 = 42^{\circ} \].

Биссектриса угла M делит \[ \angle M \] на два угла по \[ 42^{\circ} / 2 = 21^{\circ} \].

В треугольнике AMN:

• \[ \angle NAM = 180^{\circ} - \angle MAN - \angle AMN \]
• \[ \angle MAN = 180^{\circ} - ( \angle NAM + \angle AMN ) \]
• \[ \angle NAM = 180^{\circ} - ( \angle N / 2 + \angle M / 2 ) \]
• \[ \angle NAM = 180^{\circ} - ( 42^{\circ} + 21^{\circ} ) = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \]

Ответ: 117°