Билет №1, задача в. На одной стороне неразвёрнутого угла взяты точки A и C, на другой B и D, так что AB ∥ CD. Точка M принадлежит AB; ∠MCA = ∠MCD, ∠MDC = ∠MDB. Докажите, что AB = AC + BD.

Так как ∠MCA = ∠MCD, луч CM является биссектрисой угла ACD.

Так как ∠MDC = ∠MDB, луч DM является биссектрисой угла CDB.

Рассмотрим треугольники AMC и CMD. Из условия и параллельности AB ∥ CD получаем равенство углов:

∠MAC = ∠MDC, ∠MCA = ∠MCD.

Кроме того, сторона MC общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому:

AC = MD, AM = CD.

Аналогично из равенства треугольников MBD и MCD получаем:

BD = MC, MB = CD.

Так как точка M лежит на отрезке AB, то:

AB = AM + MB = AC + BD.

Ответ: AB = AC + BD.