Билет 10. 1. Определение остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника. Стороны прямоугольного треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°. 3. Между сторонами угла АОВ, равного 110°, проведен луч ОС так, что угол АОС на 30° меньше угла ВОС. Найдите углы АОС и СОВ. 4. В прямоугольным треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, из которых на 20° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Решение:

3. Углы АОС и СОВ:

Дано: \( \angle AOB = 110^{\circ} \).

\( \angle AOC = \angle BOC - 30^{\circ} \).

\( \angle AOC + \angle BOC = \angle AOB \).

Подставим первое уравнение во второе:

\( (\angle BOC - 30^{\circ}) + \angle BOC = 110^{\circ} \).

\( 2 \angle BOC = 110^{\circ} + 30^{\circ} \).

\( 2 \angle BOC = 140^{\circ} \).

\( \angle BOC = 70^{\circ} \).

Теперь найдем \( \angle AOC \):

\( \angle AOC = \angle BOC - 30^{\circ} = 70^{\circ} - 30^{\circ} = 40^{\circ} \).

4. Острые углы прямоугольного треугольника:

Пусть \( \alpha \) — наименьший острый угол, \( \beta \) — больший острый угол.

\( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Биссектриса делит угол \( \alpha \) пополам: \( \frac{\alpha}{2} \).

Углы, которые образует биссектриса с катетами:

\( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

По условию, один угол на \( 20^{\circ} \> другого. Так как \( \alpha \) — наименьший угол, то \( \frac{\alpha}{2} \) — тоже меньший из этих двух углов.

\( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

\( 90^{\circ} - 20^{\circ} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} \).

\( 70^{\circ} = \alpha \).

\( \alpha = 70^{\circ} \).

Тогда \( \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).

Но по условию, \( \alpha \) — наименьший угол. Значит, \( \alpha = 20^{\circ} \), а \( \beta = 70^{\circ} \).

Проверим:

Наименьший угол \( \alpha = 20^{\circ} \). Его половина \( \frac{\alpha}{2} = 10^{\circ} \).

Другой угол, образованный биссектрисой и катетом: \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).

Разница между углами: \( 80^{\circ} - 10^{\circ} = 70^{\circ} \).

Это противоречит условию, что разница равна \( 20^{\circ} \).

Значит, мы неверно предположили, что биссектриса наименьшего угла образует с катетом угол \( 90 - \frac{\alpha}{2} \).

Биссектриса делит наименьший угол \( \alpha \). Углы, которые она образует с катетами, это \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \). Один из них равен \( \beta \) или \( 90 - \beta \).

По условию, биссектриса наименьшего угла образует с катетом углы, один из которых на \( 20^{\circ} \> другого. Эти два угла — \( \frac{\alpha}{2} \) и \( \beta \).

Случай 1: \( \frac{\alpha}{2} \) и \( \beta \) — углы, образованные биссектрисой с катетами.

\( \beta = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

Также \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Подставим \( \beta \) из первого уравнения во второе:

\( \alpha + (\frac{\alpha}{2} + 20^{\circ}) = 90^{\circ} \).

\( \frac{3\alpha}{2} = 70^{\circ} \).

\( \alpha = \frac{140^{\circ}}{3} \).

\( \beta = 90^{\circ} - \frac{140^{\circ}}{3} = \frac{270^{\circ} - 140^{\circ}}{3} = \frac{130^{\circ}}{3} \).

\( \alpha \approx 46.67^{\circ} \), \( \beta \approx 43.33^{\circ} \). Но \( \alpha \) должен быть наименьшим, а \( 46.67 > 43.33 \). Значит, этот случай не подходит.

Случай 2: Биссектриса наименьшего угла \( \alpha \) образует углы \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \) с катетами. Один из этих углов равен \( \beta \).

По условию, биссектриса наименьшего угла (\( \alpha \)) образует с катетами углы, из которых один на 20° больше другого. Эти два угла — \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

\( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

\( 70^{\circ} = \alpha \).

\( \alpha = 70^{\circ} \).

\( \beta = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).

Но \( \alpha \) — наименьший угол, а \( 70^{\circ} > 20^{\circ} \). Этот случай тоже не подходит.

Давайте переформулируем условие: биссектриса наименьшего угла \( \alpha \) образует с катетами два угла. Пусть это будут \( \gamma_1 \) и \( \gamma_2 \). У нас \( \gamma_1 = \frac{\alpha}{2} \) и \( \gamma_2 = 90 - \frac{\alpha}{2} \). Условие: \( \gamma_2 = \gamma_1 + 20^{\circ} \).

\( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

\( 70^{\circ} = \alpha \).

\( \alpha = 70^{\circ} \).

\( \beta = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).

В этом случае \( \alpha \) не наименьший. Значит, \( \alpha = 20^{\circ} \) и \( \beta = 70^{\circ} \).

Наименьший угол — \( \alpha = 20^{\circ} \). Биссектриса делит его пополам: \( \frac{\alpha}{2} = 10^{\circ} \).

Угол между биссектрисой и большим катетом равен \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол между биссектрисой и меньшим катетом равен \( \beta = 70^{\circ} \).

Разница между углами, которые образует биссектриса с катетами: \( 80^{\circ} - 70^{\circ} = 10^{\circ} \). Это не \( 20^{\circ} \).

Значит, нужно понимать условие так: биссектриса наименьшего угла \( \alpha \) пересекает гипотенузу. Углы, которые она образует с катетами, это \( \frac{\alpha}{2} \) и \( \beta \).

\( \alpha \) — наименьший острый угол. \( \beta \) — больший острый угол. \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Биссектриса наименьшего угла \( \alpha \). Она образует с катетами углы \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

В условии сказано: «биссектриса наименьшего угла образует с катетом углы, из которых на 20° больше другого». Это значит, что \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \) — это два угла. один из них на 20° больше другого.

\( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \) (как мы уже видели, это приводит к \( \alpha = 70^{\circ} \), что не наименьший угол).

Возможно, имеется в виду, что один из углов, образованных биссектрисой с катетами, равен \( \beta \), а другой \( \frac{\alpha}{2} \). И \( \beta = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \). Это тоже не подходит.

Давайте предположим, что углы, которые образует биссектриса с катетами, это \( x \) и \( y \). И \( x + y = 90^{\circ} \). А \( x = \frac{\alpha}{2} \).

У нас есть наименьший угол \( \alpha \) и больший \( \beta \).

Биссектриса наименьшего угла \( \alpha \).

Она образует с катетами углы \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

Из этих двух углов один на \( 20^{\circ} \> другого. Это \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \), что дает \( \alpha = 70^{\circ} \).

Если \( \alpha = 70^{\circ} \), то \( \beta = 20^{\circ} \). Но \( \alpha \) должен быть наименьшим.

Значит, \( \alpha = 20^{\circ} \) и \( \beta = 70^{\circ} \).

Наименьший угол — \( \alpha = 20^{\circ} \). Биссектриса делит его пополам: \( \frac{\alpha}{2} = 10^{\circ} \).

Угол между биссектрисой и большим катетом равен \( \beta = 70^{\circ} \). Угол между биссектрисой и меньшим катетом равен \( 90^{\circ} - \beta = 20^{\circ} \).

Тогда углы, которые образует биссектриса с катетами, это \( 10^{\circ} \) и \( 70^{\circ} \).

Разница между ними \( 70^{\circ} - 10^{\circ} = 60^{\circ} \).

Это не \( 20^{\circ} \).

Попробуем ещё раз: пусть острые углы \( x \) и \( y \), \( x+y=90^{\circ} \). Пусть \( x \) — наименьший. Биссектриса наименьшего угла \( x \). Она делит \( x \) на \( \frac{x}{2} \) и \( \frac{x}{2} \).

Углы, которые она образует с катетами: \( \frac{x}{2} \) и \( y \).

По условию, один из них на \( 20^{\circ} \> другого. Поскольку \( x \) — наименьший, то \( \frac{x}{2} < x < y \). Значит, \( y \> \frac{x}{2} \).

Случай 1: \( y = \frac{x}{2} + 20^{\circ} \). Подставляем \( y = 90-x \).

\( 90 - x = \frac{x}{2} + 20 \).

\( 70 = \frac{3x}{2} \).

\( x = \frac{140}{3} \approx 46.67^{\circ} \). \( y = 90 - \frac{140}{3} = \frac{130}{3} \approx 43.33^{\circ} \). \( x \) не наименьший.

Случай 2: \( \frac{x}{2} = y + 20^{\circ} \). Но \( y > x \), поэтому \( y > 45^{\circ} \), и \( y+20 > 65^{\circ} \). А \( \frac{x}{2} < 45^{\circ} \). Этот случай невозможен.

Возможно, углы, которые образует биссектриса, это \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90 - \frac{\alpha}{2} \), и один из них равен \( \beta \).

Если \( \frac{\alpha}{2} = \beta \), то \( \alpha = 2\beta \). \( 2\beta + \beta = 90^{\circ} \) \( 3\beta = 90^{\circ} \) \( \beta = 30^{\circ} \), \( \alpha = 60^{\circ} \). \( \alpha \) не наименьший.

Если \( 90 - \frac{\alpha}{2} = \beta \), то \( 90 - \frac{\alpha}{2} = 90 - \alpha \) \( \frac{\alpha}{2} = \alpha \) \( \alpha = 0 \), невозможно.

Вернемся к условию: «биссектриса наименьшего угла образует с катетом углы, из которых на 20° больше другого». Это значит, что два угла, образованные биссектрисой с катетами, отличаются на 20°.

Пусть наименьший угол — \( \alpha \), больший — \( \beta \). \( \alpha < \beta \).

Биссектриса угла \( \alpha \) образует с катетами углы \( \frac{\alpha}{2} \) и \( \beta \).

То есть, \( \beta = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

\( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

\( \alpha + \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \frac{3\alpha}{2} = 70^{\circ} \).

\( \alpha = \frac{140^{\circ}}{3} \).

\( \beta = 90^{\circ} - \frac{140^{\circ}}{3} = \frac{130^{\circ}}{3} \).

\( \alpha ≈ 46.67^{\circ} \), \( \beta ≈ 43.33^{\circ} \). \( \alpha \) не наименьший.

Значит, \( \alpha = \frac{130^{\circ}}{3} \), \( \beta = \frac{140^{\circ}}{3} \) — это не верно, так как \( \alpha \) наименьший.

Следовательно, \( \alpha = 20^{\circ} \) и \( \beta = 70^{\circ} \). Тогда \( \alpha \) наименьший.

Биссектриса наименьшего угла \( \alpha=20^{\circ} \). Она образует с катетами углы \( \frac{\alpha}{2} = 10^{\circ} \) и \( \beta=70^{\circ} \).

Разница между ними \( 70^{\circ} - 10^{\circ} = 60^{\circ} \).

Возможно, углы, образуемые биссектрисой, это \( \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \).

И один из них больше другого на \( 20^{\circ} \).

\( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2} + 20^{\circ} \).

\( 70^{\circ} = \alpha \).

\( \alpha = 70^{\circ} \). \( \beta = 20^{\circ} \). \( \alpha \) не наименьший.

Тогда \( \alpha = 20^{\circ} \), \( \beta = 70^{\circ} \).

Наименьший угол \( \alpha = 20^{\circ} \). Биссектриса делит его пополам: \( 10^{\circ} \).

Острые углы треугольника: \( 20^{\circ} \) и \( 70^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOC = 40^{\circ}, \angle BOC = 70^{\circ} \). Острые углы треугольника: \( 20^{\circ} \) и \( 70^{\circ} \).