Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности. 2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Укажите пары параллельных прямых и докажите их параллельность. 4. Два угла треугольника относятся как 4:7, а внешний угол третьего угла равен 121°. Найдите углы треугольника.

Question

Вопрос:

Фото задания

Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности. 2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Укажите пары параллельных прямых и докажите их параллельность. 4. Два угла треугольника относятся как 4:7, а внешний угол третьего угла равен 121°. Найдите углы треугольника.

Accepted Answer

Решение:

3. Пары параллельных прямых:

Прямая a параллельна прямой b.

Доказательство: Накрест лежащие углы, образованные секущей p, равны \( 40^{\circ} \) и \( 30^{\circ} \). Это не доказывает параллельность.

Рассмотрим секущую, пересекающую прямые a и b, с углами \( 40^{\circ} \) и \( 160^{\circ} \).

Вертикальный угол к \( 160^{\circ} \) равен \( 160^{\circ} \). Угол \( 160^{\circ} \) и соседний с ним образуют \( 180^{\circ} \).

Пусть секущая, которая образует угол \( 40^{\circ} \) с прямой a, также пересекает прямую b. Тогда накрест лежащий угол с \( 40^{\circ} \) будет равен \( 40^{\circ} \). Но нам дан угол \( 30^{\circ} \).

Рассмотрим секущую, которая образует угол \( 30^{\circ} \) с прямой b и угол \( 160^{\circ} \) с прямой c.

Прямая b параллельна прямой c.

Доказательство: Односторонние углы, образованные секущей (с углами \( 160^{\circ} \) и \( 30^{\circ} \)), в сумме дают \( 160^{\circ} + 30^{\circ} = 190^{\circ} \). Это неверно.

Угол \( 30^{\circ} \) между прямой b и секущей k. Угол \( 30^{\circ} \) между прямой c и секущей k. Это соответственные углы. Так как соответственные углы равны, то прямая b параллельна прямой c.

Прямая a не параллельна прямой c, так как накрест лежащие углы при секущей p равны \( 40^{\circ} \) и \( 30^{\circ} \).

4. Углы треугольника:

Пусть два угла треугольника равны \( 4x \) и \( 7x \).

Внешний угол третьего угла равен \( 121^{\circ} \).

Внутренний угол, смежный с внешним, равен \( 180^{\circ} - 121^{\circ} = 59^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( 4x + 7x + 59^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 11x = 180^{\circ} - 59^{\circ} \).

\( 11x = 121^{\circ} \).

\( x = 11^{\circ} \).

Первый угол: \( 4x = 4 \cdot 11^{\circ} = 44^{\circ} \).

Второй угол: \( 7x = 7 \cdot 11^{\circ} = 77^{\circ} \).

Третий угол: \( 59^{\circ} \).

Проверка: \( 44^{\circ} + 77^{\circ} + 59^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Прямые b и c параллельны. Углы треугольника: 44°, 77°, 59°.