Билет 9. 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 500 меньше другого. Найти эти углы. 4. Найти углы треугольника АВС. B 140 C

1. Определение и свойство внешнего угла треугольника:

Определение: Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: Пусть внешний угол при вершине C равен $$\angle BCE$$, а внутренние углы треугольника ABC равны $$\angle A$$, $$\angle B$$, $$\angle C$$. Так как $$\angle BCE$$ и $$\angle C$$ – смежные, то $$\angle BCE + \angle C = 180^\circ$$. Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, то есть $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$. Следовательно, $$\angle BCE = 180^\circ - \angle C$$. Из этого следует, что $$\angle BCE = \angle A + \angle B$$.

2. Доказательство равенства накрест лежащих углов:

Пусть даны две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$, и секущая $$c$$, которая пересекает их в точках A и B соответственно. Рассмотрим накрест лежащие углы $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$.

Доказательство:

1. Пусть $$\angle 1$$ – внутренний накрест лежащий угол, а $$\angle 3$$ – соответственный угол при пересечении прямой $$a$$ секущей $$c$$. По свойству соответственных углов, если прямые параллельны, то соответственные углы равны. Значит, $$\angle 1 = \angle 3$$.
2. Углы $$\angle 2$$ и $$\angle 3$$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $$\angle 2 = \angle 3$$.
3. Из равенства $$\angle 1 = \angle 3$$ и $$\angle 2 = \angle 3$$ следует, что $$\angle 1 = \angle 2$$.

3. Нахождение углов при пересечении двух прямых:

Пусть один угол равен $$x$$. Тогда другой угол равен $$x - 50^\circ$$. Так как эти углы являются смежными (или вертикальными, в зависимости от контекста, но обычно подразумеваются смежные, если не указано иное, и их сумма равна $$180^\circ$$), то:

\[ x + (x - 50^\circ) = 180^\circ \]

\[ 2x - 50^\circ = 180^\circ \]

\[ 2x = 230^\circ \]

\[ x = 115^\circ \]

Тогда второй угол равен $$115^\circ - 50^\circ = 65^\circ$$.

Ответ: Углы равны $$115^\circ$$ и $$65^\circ$$.

4. Нахождение углов треугольника ABC:

На рисунке дан угол при вершине B, равный $$140^\circ$$. Этот угол является внутренним углом треугольника ABC.

Так как $$140^\circ$$ – тупой угол, то это тупоугольный треугольник.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$.

$$\angle A + 140^\circ + \angle C = 180^\circ$$

$$\angle A + \angle C = 180^\circ - 140^\circ$$

$$\angle A + \angle C = 40^\circ$$

Без дополнительной информации (например, что треугольник равнобедренный или значение одного из других углов) мы можем только сказать, что сумма углов A и C равна $$40^\circ$$.

Ответ: $$\angle B = 140^\circ$$, $$\angle A + \angle C = 40^\circ$$.