Билет 9. 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Найдите все неизвестные углы треугольника АВС. 4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

3. Неизвестные углы треугольника АВС:

В треугольнике АВС:

\( \angle A = 110^{\circ} \)

\( \angle B = 40^{\circ} \)

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ} \)

4. Угол между высотой ВН и биссектрисой BD:

В треугольнике АВС:

\( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \).

\( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Найдем \( \angle ABD \) и \( \angle DBC \), так как BD — биссектриса:

\( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\( \angle BCH = \angle C = 60^{\circ} \).

\( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен:

\( \angle HBD = \angle DBC - \angle HBC = 40^{\circ} - 30^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: \( \angle C = 30^{\circ} \), \( \angle HBD = 10^{\circ} \).