Билет №10. 1. Определение прямоугольного треугольника. Стороны и углы прямоугольного треугольника. 2. Теорема о вертикальных углах (доказательство). 3. 1) В треугольнике ABC ∠A=80°, ∠B=60°. Чему равен ∠C? 2) Найдите острые углы треугольника MNK. 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Определение прямоугольного треугольника:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).

Стороны и углы прямоугольного треугольника:

• Катеты: Стороны, прилежащие к прямому углу.
• Гипотенуза: Сторона, противолежащая прямому углу. Гипотенуза всегда длиннее катетов.
• Острые углы: Два других угла, каждый из которых меньше 90°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

Теорема о вертикальных углах:

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство: Пусть углы ∠1 и ∠2 — вертикальные. Они образованы пересечением двух прямых. Пусть третья прямая пересекает их, образуя смежные углы. Угол, смежный с ∠1, равен 180° - ∠1. Этот же угол также смежен с ∠2, следовательно, он равен 180° - ∠2. Приравнивая эти выражения, получаем: 180° - ∠1 = 180° - ∠2, откуда следует, что ∠1 = ∠2.

Задача 3.1:

Дано: В треугольнике ABC ∠A=80°, ∠B=60°.

Найти: ∠C.

Решение:

1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
3. 80° + 60° + ∠C = 180°.
4. 140° + ∠C = 180°.
5. ∠C = 180° - 140° = 40°.

Ответ: ∠C = 40°.

Задача 3.2:

Дано: Треугольник MNK.

Найти: Острые углы треугольника MNK.

Решение: На изображении к задаче №10 показан прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 10 см. Если предположить, что это треугольник MNK, то мы имеем прямоугольный треугольник. Однако, без указания других углов или сторон, острые углы треугольника MNK определить невозможно. Если это гипотетический треугольник MNK, то задача не имеет решения без дополнительных данных.

Примечание: Для решения этой задачи требуется дополнительная информация или уточнение рисунка.

Задача 4:

Дано: Прямоугольный треугольник, острые углы 84° и 6°.

Найти: Угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. В условии указаны углы 84° и 6°, что в сумме дает 90°.
2. Пусть прямой угол находится в вершине C. Проведем высоту CH и медиану CM из вершины C.
3. Угол между высотой CH и гипотенузой AB равен разности между 90° и одним из острых углов. Например, ∠ACH = 90° - ∠A = 90° - 84° = 6°.
4. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В прямоугольном треугольнике медиана делит гипотенузу пополам.
5. Угол между медианой CM и гипотенузой AB равен углу, который образует медиана с катетами. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, делит его на два угла.
6. Угол между медианой CM и гипотенузой AB равен 90° - ∠B = 90° - 6° = 84° (или 90° - ∠A = 90° - 84° = 6°).
7. Угол между высотой CH и медианой CM равен разности между углом, который медиана образует с гипотенузой, и углом, который высота образует с гипотенузой.
8. Угол ∠MCH = |∠BCH - ∠BCM| или |∠ACH - ∠ACM|.
9. Угол между высотой и медианой равен разности между острыми углами треугольника: |84° - 6°| = 78°.

Ответ: 78°.