Билет №9. 1. Сформулируйте признаки равенства треугольников. 2. Теорема о сумме углов треугольника (доказательство). 3. 1) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 150°. Найдите углы при основании треугольника. 2) Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см больше другой. Найдите стороны треугольника. 4. Найдите длину катета MP треугольника MPK.

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. По стороне и двум прилежащим углам: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема о сумме углов треугольника:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство: Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC. Углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими при параллельных прямых DE и AC и секущей AB, поэтому ∠1 = ∠3. Углы ∠2 и ∠4 являются накрест лежащими при параллельных прямых DE и AC и секущей BC, поэтому ∠2 = ∠4. Угол ∠ABC + ∠1 + ∠2 = 180°, так как это развернутый угол. Заменяя ∠1 на ∠3 и ∠2 на ∠4, получаем ∠ABC + ∠3 + ∠4 = 180°, что и требовалось доказать.

Задача 3.1:

Дано: Треугольник ABC — равнобедренный, AC — основание, внешний угол при вершине B равен 150°.

Найти: Углы при основании треугольника.

Решение:

1. Смежный угол с внешним углом при вершине B равен 180° - 150° = 30°. Этот угол является углом B треугольника ABC.
2. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому, ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
4. 2 * ∠BAC + 30° = 180°.
5. 2 * ∠BAC = 150°.
6. ∠BAC = 75°.
7. Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 75°.

Ответ: Углы при основании треугольника равны 75°.

Задача 3.2:

Дано: Периметр равнобедренного треугольника P = 50 см, одна сторона на 13 см больше другой.

Найти: Стороны треугольника.

Решение:

1. Пусть стороны равнобедренного треугольника равны a, a, b.
2. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: Боковая сторона больше основания на 13 см. Тогда a = b + 13. Периметр: (b + 13) + (b + 13) + b = 50. 3b + 26 = 50. 3b = 24. b = 8 см. Тогда a = 8 + 13 = 21 см. Стороны: 21 см, 21 см, 8 см.
• Случай 2: Основание больше боковой стороны на 13 см. Тогда b = a + 13. Периметр: a + a + (a + 13) = 50. 3a + 13 = 50. 3a = 37. a = 37/3 ≈ 12.33 см. Тогда b = 37/3 + 13 = 37/3 + 39/3 = 76/3 ≈ 25.33 см. Стороны: 37/3 см, 37/3 см, 76/3 см.
• Проверим условие равенства треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей.
• В Случае 1: 21 + 21 > 8 (42 > 8), 21 + 8 > 21 (29 > 21). Условие выполняется.
• В Случае 2: 37/3 + 37/3 > 76/3 (74/3 > 76/3) — ложно. Условие не выполняется.

Ответ: Стороны треугольника равны 21 см, 21 см, 8 см.

Задача 4:

Дано: Треугольник MPK — прямоугольный.

Найти: Длину катета MP.

Решение: На изображении указаны размеры сторон треугольника MPT, где MK = 12 см. Треугольник MPK является прямоугольным, но без дополнительных данных (например, углов или других сторон) невозможно определить длину катета MP. Если предположить, что на рисунке изображен прямоугольный треугольник MPK, где MK — гипотенуза (12 см), то задача не решается без информации о другом катете или остром угле. Если MK — катет, а MP — другой катет, то нужно знать гипотенузу или один из острых углов.

Примечание: Для решения этой задачи требуется дополнительная информация или уточнение рисунка.