Билет №12. 1. Виды треугольников. Определение каждого вида треугольника. Неравенство треугольника. 2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (доказательство). 3. Один из смежных углов на 26° меньше другого. Найдите эти углы. 4. На рисунке точка К является серединой отрезков AD и BC. Докажите, что прямые AB и CD параллельны.

Решение:

3.

Обозначим один смежный угол как x.

По условию, другой смежный угол на 26° меньше, то есть он равен x - 26°.

Сумма смежных углов равна 180°.

Составим уравнение:

x + (x - 26°) = 180°

2x - 26° = 180°

2x = 180° + 26°

2x = 206°

x = 206° / 2

x = 103°

Тогда второй угол равен:

103° - 26° = 77°

Проверка: 103° + 77° = 180°.

Ответ: Углы равны 103° и 77°.

4.

Дано:

• Точка K — середина отрезка AD.
• Точка K — середина отрезка BC.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники △ABK и △DCK.

1. По условию, K — середина AD, значит, AK = KD.

2. По условию, K — середина BC, значит, BK = KC.

3. Углы ∠AKB и ∠CKD являются вертикальными, следовательно, ∠AKB = ∠CKD.

По двум сторонам и углу между ними (Старона, угол, старона), треугольники △ABK и △DCK равны.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, ∠BAK = ∠CDK.

Углы ∠BAK и ∠CDK являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AD.

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Что и требовалось доказать.