Билет №12. 1. Виды треугольников. Определение каждого вида треугольника. Неравенство треугольника. 2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (доказательство). 3. 1) В прямоугольном треугольнике ABC (∠A - прямой), ∠B=60°. Найдите величину угла С. 2) На рисунке ∠1=102°, ∠2=∠3. Найдите ∠4. 4. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK длина его медианы NP равна 6 см. Периметр треугольника MNP равен 24 см. Найдите периметр треугольника MNK.

Виды треугольников:

• По углам:
  • Остроугольный: Все углы острые (меньше 90°).
  • Прямоугольный: Один угол прямой (90°).
  • Тупоугольный: Один угол тупой (больше 90°).
• По сторонам:
  • Разносторонний: Все стороны имеют разную длину.
  • Равнобедренный: Две стороны равны.
  • Равносторонний: Все три стороны равны (все углы по 60°).

Неравенство треугольника:

В любом треугольнике сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу:

Признак: Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где AC = A₁C₁ (катеты), ∠C = ∠C₁ = 90° (прямые углы) и ∠A = ∠A₁ (острые углы). Нам нужно доказать, что △ABC = △A₁B₁C₁.

1. У нас есть равенство катетов (AC = A₁C₁) и равенство прилежащих к ним острых углов (∠A = ∠A₁).
2. Так как треугольники прямоугольные, то ∠B = 90° - ∠A и ∠B₁ = 90° - ∠A₁.
3. Поскольку ∠A = ∠A₁, то 90° - ∠A = 90° - ∠A₁, следовательно, ∠B = ∠B₁.
4. Теперь у нас есть равенство стороны (AC = A₁C₁) и двух прилежащих к ней углов (∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
5. Таким образом, △ABC = △A₁B₁C₁.

Задача 3.1:

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, ∠A = 90°, ∠B=60°.

Найти: ∠C.

Решение:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
2. ∠B + ∠C = 90°.
3. 60° + ∠C = 90°.
4. ∠C = 90° - 60° = 30°.

Ответ: ∠C = 30°.

Задача 3.2:

Дано: ∠1=102°, ∠2=∠3.

Найти: ∠4.

Решение:

1. Угол ∠1 и угол, смежный с ним (образующий развернутый угол с ∠2 и ∠3), являются смежными. Поэтому, сумма ∠1 + (∠2 + ∠3) = 180°.
2. 102° + (∠2 + ∠3) = 180°.
3. ∠2 + ∠3 = 180° - 102° = 78°.
4. Так как ∠2=∠3, то 2 * ∠2 = 78°, следовательно, ∠2 = ∠3 = 39°.
5. Угол ∠4 является смежным с углом ∠2.
6. ∠2 + ∠4 = 180°.
7. 39° + ∠4 = 180°.
8. ∠4 = 180° - 39° = 141°.

Ответ: ∠4 = 141°.

Задача 4:

Дано: Равнобедренный треугольник MNK, основание MK. Медиана NP = 6 см. Периметр △MNP = 24 см.

Найти: Периметр △MNK.

Решение:

1. Так как △MNK — равнобедренный с основанием MK, то MN = NK.
2. NP — медиана, проведенная к основанию MK. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, NP ⊥ MK, и P — середина MK.
3. Периметр △MNP = MN + NP + MP = 24 см.
4. Мы знаем, что NP = 6 см.
5. MN + 6 см + MP = 24 см.
6. MN + MP = 18 см.
7. Так как P — середина MK, то MP = PK, и MK = 2 * MP.
8. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MNP: MN² = NP² + MP².
9. MN² = 6² + MP² = 36 + MP².
10. Из уравнения MN + MP = 18, выразим MN: MN = 18 - MP.
11. Подставим в уравнение Пифагора: (18 - MP)² = 36 + MP².
12. 324 - 36*MP + MP² = 36 + MP².
13. 324 - 36*MP = 36.
14. 36*MP = 324 - 36 = 288.
15. MP = 288 / 36 = 8 см.
16. Теперь найдем MN: MN = 18 - MP = 18 - 8 = 10 см.
17. Так как △MNK — равнобедренный, MN = NK = 10 см.
18. MK = 2 * MP = 2 * 8 = 16 см.
19. Периметр △MNK = MN + NK + MK = 10 см + 10 см + 16 см = 36 см.

Ответ: Периметр треугольника MNK равен 36 см.