БИЛЕТ № 11: Доказать (одну из теорем на выбор отвечающего), что если при пересечении двух прямых секущей: а) соответственные углы равны, то прямые параллельны; или б)сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны. Сравнить боковую сторону и основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 60°. Построить равнобедренный треугольник по основанию и сумме боковых сторон.

Решение:

Теорема (на выбор): Доказательство параллельности прямых по односторонним углам

• Дано: Две прямые a и b, секущая c. Сумма односторонних углов ∠1 + ∠2 = 180°.
• Доказать: a || b.
• Доказательство:

1. Пусть секущая c пересекает прямые a и b, образуя односторонние углы ∠1 и ∠2.
2. Пусть ∠3 — угол, смежный с ∠1. Тогда ∠1 + ∠3 = 180° (как смежные углы).
3. По условию ∠1 + ∠2 = 180°.
4. Из равенств (∠1 + ∠3 = 180°) и (∠1 + ∠2 = 180°) следует, что ∠3 = ∠2.
5. Углы ∠3 и ∠2 являются соответственными углами при пересечении прямых a и b секущей c.
6. Так как соответственные углы равны (∠3 = ∠2), то прямые a и b параллельны.

Сравнение сторон равнобедренного треугольника

• Дано: Равнобедренный треугольник, угол при основании = 60°.
• Решение: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании равен 60°, то второй угол при основании также равен 60°. Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол равен 180° - 60° - 60° = 60°.
• Вывод: Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник равносторонний. Все стороны равны, значит, боковая сторона равна основанию.

Построение равнобедренного треугольника

• Дано: Основание b и сумма боковых сторон S (где S > b).
• Построение:

1. Отложите отрезок AB, равный основанию b.
2. Из точки A проведите луч. Отложите на нем отрезок AC, равный S.
3. Из точки B проведите луч. Из точки C как из центра проведите дугу радиусом, равным S.
4. Точка пересечения луча из B и дуги является вершиной C равнобедренного треугольника.
5. Соедините точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Примечание: Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.