БИЛЕТ № 12: Сформулировать четыре аксиомы геометрии. Сформулировать и доказать два следствия из аксиомы параллельности. С помощью циркуля и линейки построить угол, равный 30° Найти угол между биссектрисами смежных углов.

Решение:

Четыре аксиомы геометрии (Евклидовой):

1. Через любые две точки можно провести ровно одну прямую.
2. Любой отрезок можно продолжить неограниченно в обе стороны.
3. Из любых двух точек как из центров можно провести окружности.
4. Все прямые углы равны между собой.

Следствия из аксиомы параллельности:

1. Первое следствие: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
2. Второе следствие: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и между собой.

Доказательство первого следствия:

• Дано: Прямая a, точка M, не лежащая на прямой a.
• Доказать: Существует ровно одна прямая b, проходящая через M и параллельная a.
• Доказательство:
• Проведем через точки M и любую точку P на прямой a секущую b.
• Отложим от луча MP в ту же полуплоскость угол, равный углу MPN (где N — точка на прямой a), как соответственные.
• Прямая, проходящая через M под этим углом, будет параллельна прямой a (по признаку параллельности прямых).
• По аксиоме параллельности, такая прямая единственна.

Доказательство второго следствия:

• Дано: a || c, b || c.
• Доказать: a || b.
• Доказательство:
• Через точку пересечения прямых a и c (например, точку A) проведем секущую d.
• Так как a || c, то соответственные углы равны.
• Так как b || c, то соответственные углы также равны.
• Значит, соответственные углы при пересечении прямых a и b секущей d равны.
• Следовательно, a || b.

Построение угла, равного 30°:

1. Проведите прямую и отметьте на ней точку O — вершину угла.
2. Из точки O как из центра проведите дугу произвольного радиуса.
3. Из точки O как из центра проведите дугу радиусом, равным стороне равностороннего треугольника, построенного на радиусе. Точка пересечения этой дуги с первой дугой даст нам угол 60°.
4. Разделите этот угол пополам с помощью биссектрисы. Полученный угол будет равен 30°.

Угол между биссектрисами смежных углов:

• Дано: Смежные углы ∠AOB и ∠BOC.
• Найти: Угол между их биссектрисами OM и ON.
• Решение:
• Пусть ∠AOB = α и ∠BOC = β. Тогда α + β = 180°.
• Биссектриса OM делит ∠AOB пополам, т.е. ∠MOB = α/2.
• Биссектриса ON делит ∠BOC пополам, т.е. ∠BON = β/2.
• Искомый угол ∠MON = ∠MOB + ∠BON = α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 180°/2 = 90°.

Ответ: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.