БИЛЕТ № 13: Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Сформулировать и доказать следствие из этой теоремы. Дано: В равнобедренной трапеции основания ВС=5 см, AD=15 см, боковая сторона AB=13 см. Найти высоту трапеции.

Решение:

Теорема: При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

• Дано: Параллельные прямые a и b, секущая c.
• Доказать: Накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны.
• Доказательство:
• Пусть секущая c пересекает прямые a и b.
• Пусть ∠3 — угол, соответственный углу ∠1.
• Так как a || b, то соответственные углы равны, следовательно, ∠1 = ∠3.
• Углы ∠3 и ∠2 являются вертикальными, поэтому ∠3 = ∠2.
• Из равенств ∠1 = ∠3 и ∠3 = ∠2 следует, что ∠1 = ∠2.

Следствие из теоремы: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

• Доказательство:
• Пусть a || b, секущая c. Односторонние углы ∠1 и ∠2.
• Пусть ∠3 — угол, вертикальный к ∠1. Тогда ∠1 = ∠3.
• Угол ∠3 и угол ∠2 являются соответственными. Так как a || b, то ∠3 = ∠2.
• Следовательно, ∠1 = ∠2.
• Смежный угол к ∠2 (обозначим его ∠4) равен 180° - ∠2.
• Угол ∠3 и ∠4 являются накрест лежащими. Следовательно, ∠3 = ∠4.
• Таким образом, ∠1 = 180° - ∠2.
• Перенося ∠2 в левую часть, получаем ∠1 + ∠2 = 180°.

Задача: Высота равнобедренной трапеции

• Дано: Равнобедренная трапеция ABCD, BC || AD. BC = 5 см, AD = 15 см, AB = 13 см.
• Найти: Высоту трапеции (h).
• Решение:
• Проведем из вершин B и C высоты BH и CK к основанию AD.
• Получим прямоугольники BCHK и прямоугольные треугольники ABH и CDK.
• Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD.
• AH = (AD - BC) / 2 = (15 - 5) / 2 = 10 / 2 = 5 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH².
• 13² = 5² + h².
• 169 = 25 + h².
• h² = 169 - 25 = 144.
• h = √144 = 12 см.

Ответ: Высота трапеции равна 12 см.