Билет №13. 1. Секущая. Виды углов при пересечении двух параллельных прямых третьей. 2. Теорема о свойстве смежных углов (доказательство). 3. 1) Дано: a||b, ∠6 = 120º. Найдите ∠4. 2) В треугольнике ABC угол C равен 133°. Найдите внешний угол при вершине С. Ответ дайте в градусах. 4. В равнобедренном треугольнике ABC ∠B=104°. AD – высота этого треугольника. Найдите угол DAC.

Краткое пояснение:

Данный билет содержит теоретические вопросы по геометрии, касающиеся углов при параллельных прямых, смежных углов, а также практические задачи на нахождение углов в треугольниках.

Решение:

1. Виды углов при пересечении параллельных прямых секущей:
• Накрест лежащие углы (равны).
• Соответственные углы (равны).
• Односторонние углы (в сумме дают 180°).
2. Теорема о свойстве смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°.
3. 1) Найдите ∠4, если a||b, ∠6 = 120º:
   • Угол 6 и угол 8 — вертикальные, значит ∠8 = ∠6 = 120°.
   • Угол 6 и угол 4 — односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей. Поэтому их сумма равна 180°.
   • ∠4 = 180° - ∠6 = 180° - 120° = 60°.
4. 2) Внешний угол при вершине С треугольника ABC равен 133°. Найдите угол C:
   • Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом при той же вершине.
   • ∠C = 180° - 133° = 47°.
5. 4) В равнобедренном треугольнике ABC ∠B=104°. AD – высота. Найдите ∠DAC:
   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника 180°.
   • ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°
   • ∠BAC + ∠BCA + 104° = 180°
   • ∠BAC + ∠BCA = 76°.
   • Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, то ∠BAC = ∠BCA.
   • 2 * ∠BAC = 76°, значит ∠BAC = 38°.
   • AD — высота, значит ∠ADB = 90°.
   • В прямоугольном треугольнике ABD: ∠BAD + ∠B + ∠ADB = 180°.
   • ∠BAD + 104° + 90° = 180° - это неверно, так как AD — высота, а не медиана/биссектриса, и треугольник ABD не обязательно прямоугольный, если D лежит на BC. AD — высота, значит AD перпендикулярна BC.
   • Рассмотрим треугольник ABC. AB = BC (основание AC, значит AB = BC). Угол B = 104°.
   • Углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - 104°)/2 = 76°/2 = 38°.
   • AD — высота, значит ∠ADC = 90°.
   • В прямоугольном треугольнике ADC: ∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180°.
   • ∠DAC + 38° + 90° = 180°.
   • ∠DAC = 180° - 90° - 38° = 52°.