Билет №14. 1. Определение вертикальных углов. 2. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух прямых по соответственным углам. 3. 1) Отрезки АС и BD при пересечении точкой О делятся пополам. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику DOC. 2) Найдите величину угла С. 4. В треугольнике АВС угол C равен 90°, M – середина стороны АВ, AB=26, BC=18. Найдите СМ.

Краткое пояснение:

Этот билет посвящен основным понятиям геометрии: вертикальным углам, признакам параллельности прямых, равенству треугольников и свойствам медианы прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Определение вертикальных углов: Вертикальные углы — это углы, у которых одна вершина общая, а стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Они равны между собой.
2. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
3. 1) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику DOC:
   • Дано: AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD.
   • Рассмотрим треугольники AOB и COD.
   • 1. AO = OC (по условию).
   • 2. BO = OD (по условию).
   • 3. ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы).
   • Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
4. 2) Найдите величину угла С: Это задание, скорее всего, является продолжением пункта 3.1, но без дополнительной информации определить угол С невозможно. Предполагая, что речь идет о другом треугольнике или заданы дополнительные условия, которые не указаны, дать точный ответ нельзя. Если угол С относится к треугольнику DOC, то ∠C (или ∠OCD) равен ∠BAC (или ∠OAB) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BD (если бы мы уже доказали их параллельность, но это не так). В треугольнике DOC: ∠DOC = 180° - (∠ODC + ∠OCD).
5. 4) В треугольнике АВС угол C равен 90°, M – середина стороны АВ, AB=26, BC=18. Найдите СМ:
   • В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
   • Гипотенуза AB = 26.
   • Медиана CM = AB / 2.
   • CM = 26 / 2 = 13.