Билет №15. 1. Определение перпендикулярных прямых. 2. Сформулируйте и докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 3. 1) В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, ∠ABC=106°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах. 2) В равнобедренном треугольнике основание в три раза больше боковой стороны. Его периметр равен 60 см. Найдите стороны треугольника. 4. На рисунке ∠ABE=104°, ∠ACB=76º, АС=12 см. Найдите сторону АВ треугол.

Краткое пояснение:

Этот билет охватывает определения перпендикулярных прямых, важное свойство прямоугольного треугольника, решение задач на равнобедренные и произвольные треугольники.

Решение:

1. Определение перпендикулярных прямых: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (90°).
2. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
3. Доказательство:
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°.
   • Проведем медиану CM к гипотенузе AB. По свойству медианы прямоугольного треугольника, CM = AM = BM = AB/2.
   • Рассмотрим треугольник AMC. AM = CM, значит он равнобедренный.
   • Угол ∠ACM = ∠A = 30° (как углы при основании AM).
   • Найдем угол ∠MCB: ∠MCB = ∠ACB - ∠ACM = 90° - 30° = 60°.
   • Рассмотрим треугольник CMB. Он равнобедренный (CM = BM). Следовательно, углы при основании CB равны.
   • ∠BCM = ∠CBM = 60°.
   • Таким образом, треугольник CMB равносторонний, и CB = CM = BM.
   • Так как CM = AB/2, то CB = AB/2.
   • Катет CB лежит против угла A = 30°, и он равен половине гипотенузы AB.
4. 1) В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, ∠ABC=106°. Найдите угол ВСА:
   • Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
   • Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
   • Сумма углов треугольника равна 180°.
   • ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
   • 2 * ∠BCA + 106° = 180°.
   • 2 * ∠BCA = 180° - 106° = 74°.
   • ∠BCA = 74° / 2 = 37°.
5. 2) В равнобедренном треугольнике основание в три раза больше боковой стороны. Его периметр равен 60 см. Найдите стороны треугольника:
   • Пусть боковая сторона равна x.
   • Тогда основание равно 3x.
   • Периметр (P) = 2 * (боковая сторона) + основание.
   • P = 2x + 3x = 60 см.
   • 5x = 60 см.
   • x = 60 / 5 = 12 см.
   • Боковая сторона = 12 см.
   • Основание = 3 * 12 = 36 см.
   • Проверка: 12 + 12 + 36 = 60 см.
6. 4) На рисунке ∠ABE=104°, ∠ACB=76º, АС=12 см. Найдите сторону АВ:
   • Для решения этой задачи требуется рисунок. По предоставленному описанию задачи, она может быть решена с использованием теоремы синусов, если мы сможем определить другие углы треугольника ABC или треугольника ABE.
   • Предположим, что точка E лежит на прямой BC, и ABE — внешний угол треугольника ABC.
   • Тогда ∠ABC = 180° - ∠ABE = 180° - 104° = 76°.
   • В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
   • ∠BAC + 76° + 76° = 180°.
   • ∠BAC = 180° - 152° = 28°.
   • Теперь, используя теорему синусов для треугольника ABC:
   • AB / sin(∠ACB) = AC / sin(∠ABC)
   • AB / sin(76°) = 12 / sin(76°)
   • AB = 12 см.
   • Однако, если ∠ABC = 76°, то ∠BAC = 28°.
   • Если же ∠ABE — это угол, смежный с углом B треугольника ABC, то ∠ABC = 180° - 104° = 76°.
   • В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
   • ∠BAC + 76° + 76° = 180°.
   • ∠BAC = 180° - 152° = 28°.
   • По теореме синусов: AB / sin(∠ACB) = AC / sin(∠ABC).
   • AB / sin(76°) = 12 / sin(76°).
   • AB = 12 см.
   • Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с AB = AC, что соответствует ∠ABC = ∠ACB = 76°.
   • Если же ∠ABE — это внешний угол при вершине B, то ∠ABC = 180° - 104° = 76°.
   • Тогда ∠BAC = 180° - (76° + 76°) = 28°.
   • По теореме синусов: AB / sin(∠ACB) = AC / sin(∠ABC).
   • AB / sin(76°) = 12 / sin(76°).
   • AB = 12 см.
   • Если ∠ACB = 76°, и ∠ABC = 76°, то AB = AC = 12 см.
   • На рисунке, если ∠ABE=104°, то ∠ABC = 180°-104°=76°.
   • В треугольнике ABC, ∠ABC=76°, ∠ACB=76°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с AB=AC.
   • Так как AC=12 см, то AB=12 см.