Билет №13. 1. Теорема об отрезках касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 2. Сформулировать свойство медиан треугольника пересекающихся в одной точке. 3. Один из углов ромба на 40° больше другого. Найти углы треугольника ВОС, если О – точка пересечения диагоналей.

Решение:

1. Теорема об отрезках касательных:

• Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.
• Углы между касательными и хордой, проведённой из точки касания, равны углам, вписанным в окружность и опирающимся на эту хорду.
• Углы между касательными и прямой, проходящей через точку касания и центр окружности, определяются через свойства равнобедренного треугольника, образованного радиусами и отрезками касательных.

2. Свойство медиан треугольника:

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3. Задача на ромб:

Дано:

• Ромб ABCD
• \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \)
• \( \angle B = \angle A + 40° \)
• O – точка пересечения диагоналей (AC и BD).

Найти: Углы треугольника ВОС.

Решение:

1. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
2. \( \angle A + \angle B = 180° \)
3. \( \angle A + (\angle A + 40°) = 180° \)
4. \( 2 \angle A = 140° \)
5. \( \angle A = 70° \)
6. \( \angle B = 70° + 40° = 110° \)
7. Таким образом, углы ромба: \( \angle A = 70°, \angle B = 110°, \angle C = 70°, \angle D = 110° \).
8. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом: \( \angle BOC = 90° \).
9. Диагонали ромба делят углы ромба пополам.
10. \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 110° = 55° \)
11. \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 70° = 35° \)
12. Проверка: Сумма углов в \( \triangle BOC \): \( 90° + 55° + 35° = 180° \).

Ответ: Углы треугольника ВОС равны 90°, 55°, 35°.