Переводной экзамен по геометрии за 8 класс 3. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 40 см² и одна сторона больше другой на 3 см

Решение:

Дано:

• Прямоугольник ABCD
• Площадь \( S = 40 \text{ см}^2 \)
• Пусть одна сторона равна \( a \) см, тогда другая сторона \( b = a + 3 \) см.

Найти: Периметр \( P \) прямоугольника.

Решение:

1. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a \times b \).
2. Подставим известные значения: \( 40 = a \times (a + 3) \).
3. Раскроем скобки: \( 40 = a^2 + 3a \).
4. Перенесём всё в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: \( a^2 + 3a - 40 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times (-40) = 9 + 160 = 169 \).
6. \( \text{sqrt}(D) = \text{sqrt}(169) = 13 \).
7. Найдем корни уравнения:
• \( a_1 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \times 1} = \frac{10}{2} = 5 \)
• \( a_2 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \times 1} = \frac{-16}{2} = -8 \)
8. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем \( a = 5 \text{ см} \).
9. Тогда вторая сторона \( b = a + 3 = 5 + 3 = 8 \text{ см} \).
10. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон: \( P = 2(a + b) \).
11. \( P = 2(5 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \times 13 \text{ см} = 26 \text{ см} \).

Ответ: Периметр прямоугольника равен 26 см.