Билет № 13. 2) Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла.

Свойство биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Верно и обратное: всякая точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство. Пусть точка O лежит на биссектрисе угла A. Опустим из O перпендикуляры OM и ON на стороны угла. В прямоугольных треугольниках AOM и AON гипотенуза AO общая, а углы MAO и NAO равны, поскольку AO — биссектриса. Треугольники равны, поэтому OM = ON. Значит, расстояния от O до сторон угла равны.

Обратно, если OM = ON, то прямоугольные треугольники AOM и AON имеют общую гипотенузу AO и равные катеты. Они равны, поэтому углы MAO и NAO равны. Следовательно, AO — биссектриса угла A.