Билет № 14 1. Треугольник. Определение равнобедренного треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. 2. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол а. Ответ дайте в градусах. 3. В равностороннем треугольнике АВС медианы ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите ДАОК.

Краткое пояснение:

• Решение геометрических задач требует знания определений, свойств фигур и умения применять теоремы.

Решение:

1. 1. Определение и свойства равнобедренного треугольника:
   • Определение: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого равны две стороны.
   • Свойства:
     • Углы при основании равны.
     • Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
     • Медиана, проведенная к основанию, перпендикулярна основанию.
2. 2. Нахождение угла α:
   • На рисунке изображен угол 100°. Угол α является смежным с углом 100°.
   • Сумма смежных углов равна 180°.
   • Следовательно, \( \alpha = 180° - 100° \).
   • \( \alpha = 80° \).
3. 3. Нахождение угла ∠АОК:
   • В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами углов и высотами.
   • Каждая медиана делит угол равностороннего треугольника на три равных угла, то есть по 60°/3 = 20°.
   • Так как ВК — медиана, то ∠ABK = ∠KBC = 20°.
   • Так как АМ — медиана, то ∠BAM = ∠MAC = 20°.
   • Угол равностороннего треугольника равен 60°.
   • В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан (О) является центром треугольника.
   • Медиана ВК делит угол ∠ABC пополам, так как она является и биссектрисой.
   • Угол ∠ABO = 60° / 2 = 30°.
   • В треугольнике АВО: ∠BAO = 60° / 2 = 30°, ∠ABO = 60° / 2 = 30°.
   • Это неверно, так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
   • В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в точке О, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
   • В равностороннем треугольнике медианы являются биссектрисами углов.
   • Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
   • Медиана ВК делит угол ∠ABC (60°) пополам, т.е. ∠ABK = 30°.
   • Медиана АМ делит угол ∠BAC (60°) пополам, т.е. ∠BAO = 30°.
   • Рассмотрим треугольник АВО. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • ∠AOB = 180° - (∠BAO + ∠ABO) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.
   • Угол ∠AOK и ∠AOB — смежные, если точки K, O, B лежат на одной прямой.
   • Однако, О — точка пересечения медиан ВК и АМ.
   • В равностороннем треугольнике медианы являются также высотами и биссектрисами.
   • Угол ∠BAC = 60°. Медиана АМ является биссектрисой, поэтому ∠OAM = 60° / 2 = 30°.
   • Угол ∠ABK = 60° / 2 = 30°.
   • Рассмотрим треугольник АВО. ∠OAB = 30°, ∠OBA = 30°. ∠AOB = 180° - (30°+30°) = 120°.
   • Угол ∠AOK является частью угла ∠AOB.
   • Корректное решение: В равностороннем треугольнике все углы по 60°. Медианы являются биссектрисами. ∠BAO = 60°/2 = 30°. Медиана ВК является высотой, поэтому ∠BKA = 90°. В треугольнике АКО, ∠KAO = 30°. Угол ∠AKO = 90°. ∠AOK = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Ответ: 1. Определение: Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами. Свойства: Углы при основании равны, высота к основанию является медианой и биссектрисой. 2. 80°. 3. 60°.