Билет № 15 1. Окружность. Элементы окружности. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите периметр этого треугольника. 3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Краткое пояснение:

• Решение задач на периметр и элементы треугольников требует знания формул и свойств геометрических фигур.

Решение:

1. 1. Окружность и её элементы:
   • Окружность: Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
   • Элементы:
     • Центр: Точка, равноудаленная от всех точек окружности.
     • Радиус (r): Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
     • Диаметр (d): Отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности (d = 2r).
     • Хорда: Отрезок, соединяющий две точки на окружности.
     • Касательная: Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
   • Вписанная окружность: Окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.
   • Описанная окружность: Окружность, проходящая через все вершины треугольника. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
2. 2. Периметр равнобедренного треугольника:
   • Дано: Боковая сторона = 10, основание = 12.
   • Периметр (P) равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: \( P = 2 \cdot \text{боковая сторона} + \text{основание} \).
   • \( P = 2 \cdot 10 + 12 \).
   • \( P = 20 + 12 \).
   • \( P = 32 \).
3. 3. Нахождение АН:
   • Дано: \( \triangle ABC \), ВМ — медиана, ВН — высота. \( AC = 84 \), \( BC = BM \).
   • Так как ВМ — медиана, то \( AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42 \).
   • В \( \triangle BCM \), ВМ = ВС. Это означает, что \( \triangle BCM \) — равнобедренный.
   • В равнобедренном \( \triangle BCM \) медиана ВМ к основанию ВС не является высотой.
   • Однако, если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный с основанием ВС.
   • Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный, и углы при основании равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).
   • В \( \triangle BHC \), \( \angle BHC = 90° \).
   • В \( \triangle BMC \), \( BC = BM \). Следовательно, \( \angle BCM = \angle BМC \).
   • В \( \triangle BHM \), \( \angle BHM = 90° \).
   • Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный. Тогда \( \angle BCM = \angle BMC \).
   • В \( \triangle BHC \), \( \angle BHC = 90° \).
   • Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( \angle BCH + \angle HBC = 90° \).
   • Рассмотрим \( \triangle BHM \).
   • Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) является равнобедренным.
   • В \( \triangle BHC \) угол \( \angle BHC = 90° \).
   • В \( \triangle BCM \), \( BC = BM \). Следовательно, \( \angle C = \angle BMC \).
   • Угол \( \angle BMC \) — внешний угол \( \triangle ABM \).
   • \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \).
   • Так как \( \angle C = \angle BMC \), то \( \angle C = \angle BAM + \angle ABM \).
   • В \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).
   • \( \angle A + \angle ABM + \angle CBM + \angle C = 180° \).
   • \( \angle A + \angle ABM + (180° - 2\angle C) = 180° \).
   • \( \angle A + \angle ABM - 2\angle C = 0 \).
   • \( \angle A + \angle ABM = 2\angle C \).
   • Так как \( \angle C = \angle BMC \) и \( \angle BMC = \angle A + \angle ABM \), то \( \angle C = \angle A + \angle ABM \).
   • Это противоречит \( \angle A + \angle ABM = 2\angle C \) если \( \angle A = \angle C \).
   • Попробуем иначе: \( BC = BM \) означает, что точка М лежит на окружности с центром в В и радиусом ВС.
   • В \( \triangle BHC \), \( BH^2 = BC^2 - HC^2 \).
   • В \( \triangle BHM \), \( BH^2 = BM^2 - HM^2 \).
   • Так как \( BC = BM \), то \( BC^2 - HC^2 = BM^2 - HM^2 \).
   • \( BC^2 - HC^2 = BC^2 - HM^2 \).
   • \( HC^2 = HM^2 \).
   • \( HC = HM \) (так как длины положительны).
   • Мы знаем, что \( HC = 42 \) (так как \( MC = 42 \) и H лежит на AC).
   • Если H лежит между M и C, то \( MC = MH + HC \).
   • \( 42 = HM + 42 \) => \( HM = 0 \). Это невозможно.
   • Значит, H лежит между A и M, или M лежит между A и H.
   • Если H лежит между M и C, то \( HC = HM + MC \) => \( 42 = HM + 42 \) => \( HM = 0 \).
   • Если M лежит между H и C, то \( HC = HM + MC \). \( 42 = HM + 42 \) => \( HM = 0 \).
   • Если H лежит между A и M, то \( AM = AH + HM \). \( 42 = AH + HM \).
   • И \( HC = HM + MC \). \( 42 = HM + 42 \). => \( HM = 0 \).
   • Переосмыслим: \( BC = BM \) означает, что \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle BCM = \angle BMC \).
   • В \( \triangle BHC \), \( \angle BHC = 90° \).
   • Пусть \( \angle C = \gamma \). Тогда \( \angle BMC = \gamma \).
   • В \( \triangle ABC \), \( \angle A + \angle B + \gamma = 180° \).
   • \( \angle B = \angle ABM + \angle MBC \).
   • В \( \triangle BHM \), \( \angle BHM = 90° \).
   • \( HM = BM \cos(\angle BMC) = BM \cos(\gamma) \).
   • \( BH = BM \sin(\angle BMC) = BM \sin(\gamma) \).
   • \( HC = BC \cos(\gamma) \).
   • Так как \( BC = BM \), то \( HC = BM \cos(\gamma) \).
   • Значит, \( HM = HC \).
   • \( MC = 42 \).
   • Если H между M и C, то \( MC = MH + HC \). \( 42 = HM + HC \). Так как \( HM = HC \), то \( 42 = 2 HC \) => \( HC = 21 \).
   • Тогда \( HM = 21 \).
   • \( AH = AC - HC = 84 - 21 = 63 \).
   • Если M между H и C, то \( HC = HM + MC \). \( HC = HM + 42 \). Так как \( HM = HC \), то \( HC = HC + 42 \) => \( 42 = 0 \). Невозможно.
   • Если H между A и M, то \( AM = AH + HM \). \( 42 = AH + HM \). И \( HC = HM + MC \). \( 42 = HM + 42 \) => \( HM = 0 \). Невозможно.
   • Итак, H лежит между M и C.
   • \( HC = 21 \). \( HM = 21 \).
   • \( AH = AC - HC = 84 - 21 = 63 \).

Ответ: 1. Окружность - множество точек, равноудаленных от центра. Элементы: центр, радиус, диаметр, хорда, касательная. Вписанная окружность касается сторон, описанная проходит через вершины. 2. 32. 3. 63.