Билет № 16 1. Окружность. Определение касательной к окружности. Свойство касательной и отрезков касательных к окружности. 2. В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, ∠ABC = 108°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах. 3. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

• Решение задач на треугольники и окружности опирается на их свойства и теоремы.

Решение:

1. 1. Касательная к окружности:
   • Определение: Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.
   • Свойства:
     • Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
     • Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.
2. 2. Нахождение угла ВСА:
   • Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( \angle ABC = 108° \).
   • \( \triangle ABC \) — равнобедренный (так как \( AB = BC \)).
   • Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
   • Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   • \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).
   • \( 2 \cdot \angle BCA + 108° = 180° \).
   • \( 2 \cdot \angle BCA = 180° - 108° \).
   • \( 2 \cdot \angle BCA = 72° \).
   • \( \angle BCA = 72° / 2 \).
   • \( \angle BCA = 36° \).
3. 3. Нахождение угла АМВ:
   • Дано: \( \triangle ABC \), ВМ — медиана, ВН — высота. \( AC = 216 \), \( HC = 54 \), \( \angle ACB = 40° \).
   • \( AC = 216 \), \( HC = 54 \). \( MC = AC - AH \) или \( MC = AH - AC \).
   • H лежит на AC. \( MC = AC - AM \).
   • Так как ВН — высота, \( \angle BHC = 90° \).
   • В \( \triangle BHC \): \( \angle HBC = 90° - \angle C = 90° - 40° = 50° \).
   • \( BC = HC / \cos(40°) \).
   • \( BC = 54 / \cos(40°) \).
   • ВМ — медиана, значит \( AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108 \).
   • \( HC = 54 \). \( MC = 108 \).
   • Значит, H лежит между A и M, так как \( AH = AC - HC = 216 - 54 = 162 \).
   • \( AM = 108 \). \( MC = 108 \).
   • H лежит вне отрезка MC. \( AH = 162 \). \( HC = 54 \).
   • \( AM = 108 \). \( MC = 108 \).
   • \( AC = 216 \).
   • \( AH = 162 \). \( HM = AH - AM = 162 - 108 = 54 \).
   • В \( \triangle BHM \): \( \angle BHM = 90° \).
   • \( BH = HM \tan(\angle BMH) \) или \( BH = HC \tan(\angle C) \).
   • \( BH = 54 \tan(40°) \).
   • Теперь найдем \( HM = 54 \). \( BH = 54 \tan(40°) \).
   • В \( \triangle BHM \): \( \tan(\angle AMB) = BH / HM \).
   • \( \tan(\angle AMB) = (54 \tan(40°)) / 54 \).
   • \( \tan(\angle AMB) = \tan(40°) \).
   • \( \angle AMB = 40° \).

Ответ: 1. Касательная - прямая, имеющая одну общую точку с окружностью. Радиус в точке касания перпендикулярен касательной. Отрезки касательных от внешней точки до точек касания равны. 2. 36°. 3. 40°.