Билет №15 1. Свойство пересекающихся хорд. Доказательство. 2. Теорема Фалеса. Формулировка. Разделите данный отрезок на три равные части.

Билет №15

• 1. Свойство пересекающихся хорд: Если две хорды \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( P \), то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AP PB = CP PD \). Доказательство: Рассмотрим треугольники \( APC \) и \( BPD \). Углы \( ext{at} P \) равны как вертикальные. Углы \( ext{at} A \) и \( ext{at} D \) равны как вписанные, опирающиеся на дугу \( BC \). Углы \( ext{at} B \) и \( ext{at} C \) равны как вписанные, опирающиеся на дугу \( AD \). Следовательно, треугольники \( APC \) и \( BPD \) подобны по двум углам. Из подобия следует: \( \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP} \), откуда \( AP PB = CP DP \).
• 2. Теорема Фалеса: Если на одной из двух параллельных прямых отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то она отложит на ней равные отрезки. Разделение отрезка на три равные части: Пусть дан отрезок \( AB \). Проведем из точки \( A \) произвольный луч \( l \), не совпадающий с прямой \( AB \). Отложим на луче \( l \) три равных отрезка: \( AC = CD = DE \). Соединим точку \( E \) с точкой \( B \). Через точки \( C \) и \( D \) проведём прямые, параллельные \( EB \). По теореме Фалеса, эти прямые пересекут отрезок \( AB \) в точках \( F \) и \( G \) так, что \( AF = FG = GB \).