Билет №17. 1. Формулы сложения 2. Решите уравнение 4 · 9^x - 13 · 6^x + 9 · 4^x = 0 3. Правильные многогранники

Решение:

1. Формулы сложения:
   \( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \)
   \( \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \)
   \( \mathrm{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta}{1 \mp \mathrm{tg}\alpha\mathrm{tg}\beta} \)
2. Решение уравнения: \( 4 \cdot 9^x - 13 \cdot 6^x + 9 \cdot 4^x = 0 \)
   Разделим обе части на \( 4^x \) (так как \( 4^x \neq 0 \)):
   \[ 4 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x - 13 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x + 9 = 0 \]
   \[ 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0 \]
   Пусть \( y = \left(\frac{3}{2}\right)^x \). Тогда \( y^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} \).
   Получаем квадратное уравнение относительно \( y \):
   \[ 4y^2 - 13y + 9 = 0 \]
   Найдём дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 169 - 144 = 25 \).
   Корни: \( y_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \)
   \( y_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \)
   Теперь вернёмся к \( x \):
   1) \( y = \frac{9}{4} \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{3}{2} \big)^x = \frac{9}{4} \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{3}{2} \big)^x = \big( \frac{3}{2} \big)^2 \) \( \rightarrow \) \( x = 2 \).
   2) \( y = 1 \) \( \rightarrow \) \( \big( \frac{3}{2} \big)^x = 1 \) \( \rightarrow \) \( x = 0 \).
3. Правильные многогранники: Правильные многогранники (платоновы тела) — это выпуклые многогранники, у которых все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. Их существует пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Ответ: 1. Формулы сложения для синуса, косинуса и тангенса. 2. x = 2, x = 0. 3. Правильные многогранники и их свойства.