Билет №18. 1. Синус, косинус и тангенс двойного угла; половинного угла 2. Решите неравенство √2x² - 7x - 4 > -x - 1/4 3. Цилиндр

Решение:

1. Синус, косинус и тангенс двойного угла; половинного угла:
   Двойной угол:
   \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \)
   \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \)
   \( \mathrm{tg}(2\alpha) = \frac{2\mathrm{tg}\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha} \)
   Половинный угол:
   \( \sin(\alpha/2) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \)
   \( \cos(\alpha/2) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \)
   \( \mathrm{tg}(\alpha/2) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} \)
2. Решение неравенства: \( \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} \)
   Для начала найдём область допустимых значений (ОДЗ): \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \).
   Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \).
   Корни: \( x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} \). \( x_1 = \frac{16}{4} = 4 \), \( x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 \).
   Значит, \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \).
   Рассмотрим два случая:
   Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю. \( -x - \frac{1}{4} \le 0 \) \( \rightarrow \) \( x \ge -0.25 \).
   В этом случае неравенство верно для всех \( x \) из ОДЗ, где \( x \ge -0.25 \). Пересечение \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \) и \( x \ge -0.25 \) даёт \( x \in [4; \infty) \).
   Случай 2: Правая часть неравенства положительна. \( -x - \frac{1}{4} > 0 \) \( \rightarrow \) \( x < -0.25 \).
   В этом случае возведём обе части в квадрат:
   \[ 2x^2 - 7x - 4 > \left(-x - \frac{1}{4}\right)^2 \]
   \[ 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \]
   \[ 2x^2 - x^2 - 7x - \frac{1}{2}x - 4 - \frac{1}{16} > 0 \]
   \[ x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0 \]
   Умножим на 16:
   \[ 16x^2 - 120x - 65 > 0 \]
   Дискриминант \( D = (-120)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-65) = 14400 + 4160 = 18560 \).
   \( \sqrt{18560} = \sqrt{64 \cdot 290} = 8\sqrt{290} \).
   Корни: \( x_{1,2} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4} \).
   \( x_1 = \frac{15 + \sqrt{290}}{4} \approx \frac{15 + 17.03}{4} \approx 8.0075 \)
   \( x_2 = \frac{15 - \sqrt{290}}{4} \approx \frac{15 - 17.03}{4} \approx -0.5075 \)
   Неравенство \( 16x^2 - 120x - 65 > 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup (\frac{15 + \sqrt{290}}{4}; \infty) \).
   Учитывая условие \( x < -0.25 \) и ОДЗ \( x \in (-\infty; -0.5] \cup [4; \infty) \), получаем пересечение: \( x \in (-\infty; -0.5] \) и \( x < -0.25 \) и \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \).
   Так как \( \frac{15 - \sqrt{290}}{4} \approx -0.5075 \), то \( (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \) входит в \( (-\infty; -0.5] \).
   Значит, решение для этого случая: \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \).
   Объединим решения обоих случаев:
   \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4; \infty) \).
3. Цилиндр: Цилиндр — это тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У цилиндра есть два основания (круги) и боковая поверхность.

Ответ: 1. Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного и половинного углов. 2. \( x \in (-\infty; \frac{15 - \sqrt{290}}{4}) \cup [4; \infty) \). 3. Определение и свойства цилиндра.