Билет №21. 1. Простейшие тригонометрические уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a 2. Решите уравнение √x + √6x - 9 + √x - √6x - 9 = √6 3. Сфера

Решение:

1. Простейшие тригонометрические уравнения:
   \( \cos x = a \): Если \( |a| \le 1 \), то \( x = \pm \arccos a + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( \sin x = a \): Если \( |a| \le 1 \), то \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( \mathrm{tg} x = a \): \( x = \mathrm{arctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( \mathrm{ctg} x = a \): \( x = \mathrm{arcctg} a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Решение уравнения: \( \sqrt{x} + \sqrt{6x - 9} + \sqrt{x} - \sqrt{6x - 9} = \sqrt{6} \)
   Упростим левую часть: \( 2\sqrt{x} = \sqrt{6} \).
   Разделим обе части на 2: \( \sqrt{x} = \frac{\sqrt{6}}{2} \).
   Возведём обе части в квадрат:
   \[ x = \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)^2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
   Проверим ОДЗ: \( x \ge 0 \) и \( 6x - 9 \ge 0 \) \( \rightarrow \) \( 6x \ge 9 \) \( \rightarrow \) \( x \ge 1.5 \).
   \( x = 1.5 \) удовлетворяет условиям.
   Подставим \( x = 1.5 \) в исходное уравнение:
   \( \sqrt{1.5} + \sqrt{6(1.5) - 9} + \sqrt{1.5} - \sqrt{6(1.5) - 9} = \sqrt{1.5} + \sqrt{9 - 9} + \sqrt{1.5} - \sqrt{9-9} = \sqrt{1.5} + 0 + \sqrt{1.5} - 0 = 2\sqrt{1.5} = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = 2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6} \).
   Равенство верно.
3. Сфера: Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, равноудалённых от данной точки (центра сферы).

Ответ: 1. Решения простейших тригонометрических уравнений. 2. x = 3/2. 3. Определение сферы.