Билет №18: 1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство вертикальных углов. 3. Задача на тему «Расстояние от точки до прямой». В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 3 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.

Решение:

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны по:

• Первому признаку: по двум катетам.
• Второму признаку: по катету и острому углу.
• Третьему признаку: по гипотенузе и острому углу.
• Четвертому признаку: по гипотенузе и катету.

2. Доказательство свойства вертикальных углов:

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

1. Пусть даны два пересекающихся прямых a и b, образующие вертикальные углы ∠1 и ∠3.
2. Пусть ∠2 — угол, смежный с ∠1 и ∠3.
3. Так как ∠1 и ∠2 — смежные, то их сумма равна 180°: ∠1 + ∠2 = 180°.
4. Так как ∠3 и ∠2 — смежные, то их сумма равна 180°: ∠3 + ∠2 = 180°.
5. Из равенства (1) выразим ∠1 = 180° - ∠2.
6. Из равенства (2) выразим ∠3 = 180° - ∠2.
7. Следовательно, ∠1 = ∠3.

Что и требовалось доказать.

3. Задача:

Дано:

• △ABC — равнобедренный.
• AC = 3 см (основание).
• Внешний ∠ при вершине B = 60°.

Найти: Расстояние от C до AB (высоту CH).

Решение:

1. Найдем ∠ABC: ∠ABC = 180° - 60° = 120°.
2. Так как △ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠BAC = ∠BCA.
3. ∠BAC = ∠BCA = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.
4. Проведем высоту CH из вершины C к стороне AB.
5. Рассмотрим △AСH — это прямоугольный треугольник (∠CHA = 90°).
6. ∠CAH = 30°.
7. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
8. CH = AC / 2.
9. CH = 3 см / 2 = 1.5 см.

Ответ: Расстояние от вершины C до прямой AB равно 1.5 см.