Билет №19: 1. Объяснить, как построить треугольник по трем сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение. 2. Доказать, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. 3. Задача на тему «Периметр треугольника». Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника.

Решение:

1. Построение треугольника по трем сторонам:

1. Отложите на прямой отрезок, равный одной из сторон (например, AB).
2. Из конца отрезка A проведите дугу окружности с радиусом, равным второй стороне (AC).
3. Из конца отрезка B проведите дугу окружности с радиусом, равным третьей стороне (BC).
4. Точка пересечения этих дуг (точка C) будет третьей вершиной треугольника.

Условие существования треугольника:

Чтобы треугольник существовал, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Если это условие не выполняется, то треугольник построить невозможно.

2. Доказательство:

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство (методом от противного):

1. Пусть дан треугольник ABC, сторона BC > AC. Нужно доказать, что ∠A > ∠B.
2. Предположим обратное: ∠A ≤ ∠B.
3. Если ∠A = ∠B, то треугольник равнобедренный, и против равных углов лежат равные стороны: BC = AC. Это противоречит условию BC > AC.
4. Если ∠A < ∠B, то против большего угла ∠B лежит большая сторона AC. Следовательно, AC > BC. Это также противоречит условию BC > AC.
5. Оба предположения (∠A = ∠B и ∠A < ∠B) привели к противоречию.
6. Следовательно, остается верным только утверждение, что ∠A > ∠B.

Что и требовалось доказать.

3. Задача:

Дано:

• △ABC — равнобедренный.
• AC = 8 см (основание).
• BM — медиана к боковой стороне AC.
• P1 — периметр △ABM.
• P2 — периметр △CBM.
• P1 = P2 + 2 см (или P2 = P1 + 2 см).

Найти: AB (боковую сторону).

Решение:

1. Пусть AB = BC = x (боковые стороны равнобедренного треугольника).
2. M — середина AC, значит AM = MC = AC / 2 = 8 см / 2 = 4 см.
3. Периметр △ABM: P1 = AB + AM + BM = x + 4 + BM.
4. Периметр △CBM: P2 = BC + MC + BM = x + 4 + BM.
5. Из этого следует, что P1 = P2. Но по условию P1 = P2 + 2. Это означает, что медиана проведена не к боковой стороне, а к основанию, или в условии ошибка.

Предположим, что медиана проведена к основанию AC.

Дано (исправленное):

• △ABC — равнобедренный.
• AB = BC = x (боковые стороны).
• AC = 8 см (основание).
• BM — медиана к основанию AC (AM = MC = 4 см).
• Медиана BM разбивает △ABC на два треугольника: △ABM и △CBM.
• P(△ABM) = AB + AM + BM = x + 4 + BM.
• P(△CBM) = BC + MC + BM = x + 4 + BM.
• Снова получаем P(△ABM) = P(△CBM).

Давайте предположим, что задача имела в виду, что медиана проведена к боковой стороне, но разница в периметрах связана с разделением на два других треугольника.

Возможно, условие задачи подразумевает, что медиана к боковой стороне, например, BK к стороне AC, разбивает треугольник на ABK и CBK. Но AC - основание.

Давайте переформулируем задачу, исходя из наиболее вероятного смысла:

Дано (предполагаемое):

• △ABC — равнобедренный.
• AB = BC = x (боковые стороны).
• AC = 8 см (основание).
• BN — медиана, проведенная к боковой стороне AB (N — середина AB).
• BN разбивает △ABC на △ABN и △CBN.
• P(△CBN) = P(△ABN) + 2 см.

Найти: AB (боковую сторону x).

Решение (с новой формулировкой):

1. P(△ABN) = AB + AN + BN = x + x/2 + BN.
2. P(△CBN) = CB + CN + BN = x + AC - AN + BN = x + 8 - x/2 + BN.
3. По условию: P(△CBN) = P(△ABN) + 2
4. (x + 8 - x/2 + BN) = (x + x/2 + BN) + 2
5. x + 8 - x/2 + BN = x + x/2 + BN + 2
6. 8 - x/2 = x/2 + 2
7. 8 - 2 = x/2 + x/2
8. 6 = x

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 6 см.