Билет №18. 1. Синус, косинус и тангенс двойного угла; половинного угла 2. Решите неравенство √2x² - 7x - 4 > -x - 1/4 3. Цилиндр

Решение:

1. Формулы двойного и половинного углов:
• \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
• \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha) \)
• \( \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} \)
• \( \sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2} \)
• \( \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2} \)
• \( \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \)
2. Решение неравенства:

\( \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} \)

ОДЗ: \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \). Корни уравнения \( 2x^2 - 7x - 4 = 0 \):

\( D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \)

\( x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{7 \pm 9}{4} \) ⇒ \( x_1 = \frac{16}{4} = 4 \), \( x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

Значит, \( x \in (-\infty, -0.5] \cup [4, \infty) \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю.

\( -x - \frac{1}{4} \le 0 \) ⇒ \( -x \le \frac{1}{4} \) ⇒ \( x \ge -0.25 \)

В этом случае неравенство выполняется, если левая часть определена. Учитывая ОДЗ, получаем \( x \in [4, \infty) \).

Случай 2: Правая часть неравенства положительна.

\( -x - \frac{1}{4} > 0 \) ⇒ \( x < -0.25 \)

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\( 2x^2 - 7x - 4 > \left(-x - \frac{1}{4}\right)^2 \)

\( 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \)

\( 2x^2 - x^2 - 7x - \frac{1}{2}x - 4 - \frac{1}{16} > 0 \)

\( x^2 - \frac{15}{2}x - \frac{65}{16} > 0 \)

Умножим на 16:

\( 16x^2 - 120x - 65 > 0 \)

Корни уравнения \( 16x^2 - 120x - 65 = 0 \):

\( D = (-120)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-65) = 14400 + 4160 = 18560 \)

\( \sqrt{18560} = \sqrt{64 \cdot 290} = 8\sqrt{290} \) (приближённо \( 8 \cdot 17.03 \approx 136.24 \))

\( x_{3,4} = \frac{120 \pm 8\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4} \)

\( x_3 \approx \frac{15 + 17.03}{4} \approx \frac{32.03}{4} \approx 8.01 \)

\( x_4 \approx \frac{15 - 17.03}{4} \approx \frac{-2.03}{4} \approx -0.5075 \)

Учитывая, что \( x < -0.25 \) и ОДЗ \( x \le -0.5 \), получаем \( x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}] \).

Объединяем решения случаев:

\( (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}] \cup [4, \infty) \)

3. Теория:

Цилиндр — это тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

• Основания цилиндра — круги.
• Боковая поверхность — развёртка в прямоугольник.
• Высота цилиндра — сторона прямоугольника, вокруг которой происходило вращение.
• Радиус основания — другая сторона прямоугольника.

Ответ: 1. Формулы синуса, косинуса и тангенса двойного и половинного углов. 2. \( x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{290}}{4}] \cup [4, \infty) \). 3. Цилиндр — тело вращения, ограниченное двумя параллельными кругами и боковой поверхностью.