Билет №16. 1. Синус, косинус и тангенс углов α и -α 2. Решите уравнение 16.9ˣ − 25.12ˣ + 9.16ˣ = 0 3. Усеченная пирамида

Решение:

1. Теоретический вопрос: Синус, косинус и тангенс являются нечетными функциями. Это значит, что для любого угла \( \alpha \) из области определения выполняются равенства: \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \), \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \), \( \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) \).
2. Решение уравнения: \( 16 ∙ 9^x - 25 ∙ 12^x + 9 ∙ 16^x = 0 \)
   Разделим обе части уравнения на \( 9^x \) (так как \( 9^x \) всегда больше 0):
   \( 16 ∙ \left( \frac{9}{9} \right)^x - 25 ∙ \left( \frac{12}{9} \right)^x + 9 ∙ \left( \frac{16}{9} \right)^x = 0 \)
   \( 16 - 25 ∙ \left( \frac{4}{3} \right)^x + 9 ∙ \left( \frac{4}{3} \right)^{2x} = 0 \)
   Пусть \( y = \left( \frac{4}{3} \right)^x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( 9y^2 - 25y + 16 = 0 \)
   Найдём дискриминант:
   \[ D = (-25)^2 - 4 ∙ 9 ∙ 16 = 625 - 576 = 49 \]
   Найдём корни \( y \):
   \[ y_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 ∙ 9} = \frac{25 + 7}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \]
   \[ y_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 ∙ 9} = \frac{25 - 7}{18} = \frac{18}{18} = 1 \]
   Теперь вернёмся к замене \( y = \left( \frac{4}{3} \right)^x \):
   1) \( \left( \frac{4}{3} \right)^x = \frac{16}{9} \) \( \Rightarrow \) \( \left( \frac{4}{3} \right)^x = \left( \frac{4}{3} \right)^2 \) \( \Rightarrow x = 2 \)
   2) \( \left( \frac{4}{3} \right)^x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( \left( \frac{4}{3} \right)^x = \left( \frac{4}{3} \right)^0 \) \( \Rightarrow x = 0 \)
3. Теоретический вопрос: Усеченная пирамида — это многогранник, который получается из пирамиды путем отсечения верхнего основания плоскостью, параллельной основному основанию.

Ответ: 1. ∈ \( \mathbb{R} \): \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \), \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \), \( \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}(\alpha) \). 2. \( x = 0, x = 2 \). 3. Усечённая пирамида — многогранник, полученный пересечением пирамиды с плоскостью, параллельной её основанию.