Билет №20. 1. Сумма и разность синусов и косинусов 2. Решите уравнение √x + √x + 11 + √x - √x + 11 = 4 3. Усеченный конус

Решение:

1. Сумма и разность синусов и косинусов:
• \( \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
• \( \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
• \( \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
• \( \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \)
2. Решение уравнения:

\( \sqrt{x} + \sqrt{x + 11} + \sqrt{x} - \sqrt{x + 11} = 4 \)

Это уравнение, скорее всего, содержит опечатку, так как при упрощении оно сводится к \( 2\sqrt{x} = 4 \), что даёт \( \sqrt{x} = 2 \) и \( x = 4 \).

Если предположить, что уравнение такое: \( \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4 \), то решение будет следующим:

Возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}})^2 = 4^2 \)

\( (x + \sqrt{x + 11}) + (x - \sqrt{x + 11}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x - \sqrt{x + 11})} = 16 \)

\( 2x + 2\sqrt{x^2 - (x + 11)} = 16 \)

\( 2x + 2\sqrt{x^2 - x - 11} = 16 \)

\( x + \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 \)

\( \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 - x \)

Возведём обе части в квадрат:

\( x^2 - x - 11 = (8 - x)^2 \)

\( x^2 - x - 11 = 64 - 16x + x^2 \)

\( -x - 11 = 64 - 16x \)

\( 16x - x = 64 + 11 \)

\( 15x = 75 \)

\( x = 5 \)

Проверим условие \( 8 - x \ge 0 \) ⇒ \( 8 - 5 \ge 0 \) ⇒ \( 3 \ge 0 \) (верно).

Проверим ОДЗ для исходного уравнения: \( x + \sqrt{x+11} \ge 0 \) и \( x - \sqrt{x+11} \ge 0 \). При \( x=5 \), \( 5 - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \ge 0 \) (верно).

3. Теория:

Усечённый конус — это тело, полученное из конуса отсечением его вершины плоскостью, параллельной основанию.

• Основания усечённого конуса — круги.
• Образующая — отрезок, соединяющий точки окружностей оснований.
• Высота усечённого конуса — перпендикуляр, опущенный из центра одного основания на плоскость другого.

Ответ: 1. Формулы суммы и разности синусов и косинусов. 2. При условии, что уравнение \( \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4 \), то x = 5. Если уравнение \( \sqrt{x} + \sqrt{x + 11} + \sqrt{x} - \sqrt{x + 11} = 4 \), то x = 4. 3. Усечённый конус — часть конуса между основанием и плоскостью, параллельной основанию.