Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Билет 2. 1. Сформулируйте определение и свойства параллелограмма. Сформулируйте признаки параллелограмма. 2. Степень с…Фото задания

Ответ:

Решение:

1. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
  • Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Признаки параллелограмма:

  • Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  • Если диагонали четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
  • Если две стороны четырёхугольника параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2. Степень с целым показателем.

Для любого числа \( a \neq 0 \) и натурального числа \( n \): \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

Для любого числа \( a \neq 0 \): \( a^0 = 1 \).

Свойства степени с целым показателем:

  • \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
  • \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
  • \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
  • \( (ab)^n = a^n b^n \)
  • \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Примеры:

  • \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
  • \( 5^0 = 1 \)
  • \( x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8 \)
  • \( y^7 : y^2 = y^{7-2} = y^5 \)
  • \( (z^3)^4 = z^{3 \cdot 4} = z^{12} \)
  • \( (2a)^3 = 2^3 a^3 = 8a^3 \)
  • \( (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2} \)

3. Решение уравнения:

\( \frac{1}{3}x^2 - 27 = 0 \)

\( \frac{1}{3}x^2 = 27 \)

\( x^2 = 27 \cdot 3 \)

\( x^2 = 81 \)

\( x = \pm \sqrt{81} \)

\( x = \pm 9 \)

Ответ: \( x = 9, x = -9 \).

4. Найдём значение выражения:

Выражение: \( (\frac{5a}{2x} + \frac{1}{x}) : \frac{5a+2x}{25a^2} \)

При \( a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \), \( x = \sqrt{5} \).

Сначала упростим выражение в скобках:

\( \frac{5a}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{5a}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{5a+2}{2x} \)

Теперь выполним деление:

\( \frac{5a+2}{2x} : \frac{5a+2x}{25a^2} = \frac{5a+2}{2x} \cdot \frac{25a^2}{5a+2x} \)

Подставим значения \( a = 2\sqrt{5} \) и \( x = \sqrt{5} \):

\( 5a+2 = 5(2\sqrt{5}) + 2 = 10\sqrt{5} + 2 \)

\( 2x = 2\sqrt{5} \)

\( 5a+2x = 5(2\sqrt{5}) + 2(\sqrt{5}) = 10\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \)

\( 25a^2 = 25(\sqrt{20})^2 = 25 \cdot 20 = 500 \)

Подставим в упрощенное выражение:

\( \frac{10\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{500}{12\sqrt{5}} = \frac{2(5\sqrt{5}+1)}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{500}{12\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{500}{12\sqrt{5}} = \frac{500(5\sqrt{5}+1)}{12 \cdot 5} = \frac{500(5\sqrt{5}+1)}{60} = \frac{50(5\sqrt{5}+1)}{6} = \frac{25(5\sqrt{5}+1)}{3} \)

Ответ: \( \frac{25(5\sqrt{5}+1)}{3} \).

5. Найдем больший угол параллелограмма.

Пусть меньший угол параллелограмма равен \( x \). Тогда больший угол равен \( 29x \).

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

\( x + 29x = 180° \)

\( 30x = 180° \)

\( x = \frac{180°}{30} = 6° \)

Меньший угол равен 6°.

Больший угол равен \( 29x = 29 \cdot 6° = 174° \).

Ответ: 174°.

6. Найдем вероятность того, что пирожок окажется с капустой.

Общее количество пирожков: \( 2 + 13 + 11 = 26 \).

Количество пирожков с капустой: 13.

Вероятность того, что Антон наугад возьмет пирожок с капустой, равна отношению числа пирожков с капустой к общему количеству пирожков:

\( P(\text{капуста}) = \frac{\text{Число пирожков с капустой}}{\text{Общее количество пирожков}} = \frac{13}{26} \)

Упростим дробь:

\( \frac{13}{26} = \frac{1}{2} = 0.5 \)

Ответ: 0.5.