Билет 1: 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Решение:

• 1. Определение многоугольника: Многоугольник — это простая замкнутая ломаная.
• Вершины: Точки, в которых ломаная замыкается.
• Стороны: Отрезки, из которых состоит ломаная.
• Диагонали: Отрезки, соединяющие несоседние вершины.
• Периметр: Сумма длин всех сторон.
• Формула суммы углов выпуклого многоугольника:

  \[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \]

  Где 'n' — количество сторон многоугольника.
• 2. Теоремы о средних линиях:
• Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.
• Средняя линия трапеции: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Доказательство (средняя линия треугольника):
1. Пусть в треугольнике ABC проведена средняя линия MN (M — середина AB, N — середина BC).
2. Построим точку P так, чтобы MNPB был параллелограммом. Тогда MN || PB и MN = PB/2.
3. Так как P — середина AC (из свойств параллелограмма), то MP — средняя линия треугольника.
4. Следовательно, MN || AC и MN = AC/2.