Билет №2. 1. Степень с рациональным и действительным показателями 2. Решите уравнение sin 4x + sin² 2x = 0 3. Параллельность прямых в пространстве

Решение:

1. Степень с рациональным показателем — это \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \). Степень с действительным показателем — это предел последовательности степеней с рациональными показателями, сходящейся к данному действительному показателю.
2. Решим уравнение \( \sin 4x + \sin^2 2x = 0 \).
   Используем формулу \( \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x \).
   \( 2\sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x = 0 \)
   Вынесем \( \sin 2x \) за скобки:
   \( \sin 2x (2\cos 2x + \sin 2x) = 0 \)
   Значит, \( \sin 2x = 0 \) или \( 2\cos 2x + \sin 2x = 0 \).
   
   Если \( \sin 2x = 0 \), то \( 2x = \pi n \), \( x = \frac{\pi n}{2} \).
   
   Если \( 2\cos 2x + \sin 2x = 0 \), разделим на \( \cos 2x \) (при условии, что \( \cos 2x \neq 0 \)):
   \( 2 + \text{tg} 2x = 0 \)
   \( \text{tg} 2x = -2 \)
   \( 2x = \text{arctg}(-2) + \pi n \)
   \( x = \frac{1}{2} \text{arctg}(-2) + \frac{\pi n}{2} \).
   Проверим, действительно ли \( \cos 2x \neq 0 \) при \( \text{tg} 2x = -2 \). Если \( \cos 2x = 0 \), то \( \sin 2x = \pm 1 \), и \( 2\cos 2x + \sin 2x = \pm 1 \neq 0 \). Значит, \( \cos 2x \neq 0 \).
3. Параллельность прямых в пространстве означает, что прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: 1. \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \); предел последовательности. 2. \( x = \frac{\pi n}{2} \) и \( x = \frac{1}{2} \text{arctg}(-2) + \frac{\pi n}{2} \). 3. Прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.