Билет №6. 1. Показательная функция, её свойства и график 2. Решите неравенство log0,2 x - log5(x-2) < log0,2 3 3. Параллелепипед

Решение:

1. Показательная функция — это функция вида \( y = a^x \), где \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
   Свойства:
   1. Область определения: \( (-\infty; +\infty) \).
   2. Область значений: \( (0; +\infty) \).
   3. Если \( a > 1 \), функция возрастает. Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
   4. График проходит через точку (0; 1).
   5. График асимптотически приближается к оси Ox.
   График — экспонента.
2. Решим неравенство \( \log_{0.2} x - \log_5 (x-2) < \log_{0.2} 3 \).
   Переведем все логарифмы к одному основанию, например, 5. Учтем, что \( \log_{0.2} a = \log_{\frac{1}{5}} a = -\log_5 a \).
   \( -\log_5 x - \log_5 (x-2) < -\log_5 3 \)
   Умножим на -1 и сменим знак:
   \( \log_5 x + \log_5 (x-2) > \log_5 3 \)
   \( \log_5 (x(x-2)) > \log_5 3 \).
   Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), то:
   \( x(x-2) > 3 \)
   \( x^2 - 2x - 3 > 0 \).
   Найдем корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):
   \( (x-3)(x+1) = 0 \)
   \( x = 3 \) или \( x = -1 \).
   Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 3 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 3 \).
   
   Учтем область определения логарифмов:
   \( x > 0 \) и \( x-2 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( x > 2 \).
   
   Объединяя условия \( x > 2 \) и \( (x < -1 \) или \( x > 3) \), получаем \( x > 3 \).
3. Параллелепипед — это многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых является параллелограммом.

Ответ: 1. \( y = a^x \), свойства зависят от \( a \). 2. \( x > 3 \). 3. Многогранник, у которого шесть граней — параллелограммы.